Re: [obm-l] z^z - mais perguntas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 20, 2002 at 09:36:19PM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
> (1) Usando a mesma linguagem segundo a qual a express�o 
> 
> A = sqrt(B)
> 
> � lida como "A � igual � raiz quadrada de B", como ler a express�o
> 
> ln : C - {z in R, z <= 0} -> C   ?

A fun��o ln tem como dom�nio o seguinte conjunto X de n�meros complexos.
Todos os n�meros complexos n�o reais pertencem a X;
os n�meros reais estritamente positivos tamb�m pertencem a X;
o n�mero 0 e os reais negativos n�o pertencem a X.
 
> (2) N diz "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... ". Por que
> precisamos fazer um corte (ou por que "A fun��o ln n�o pode ser definida
> assim: ln : C - {0} -> C") ?

N�o existe uma fun��o cont�nua f: C - {0} -> C satisfazendo
exp(f(z)) = z para todo z in C - {0}.

O problema � com a parte imagin�ria de ln z que � o argumento de z
pois se z = r e^(it) queremos definir ln(z) = ln(r) + it.
N�o podemos definir continuamente o argumento pois quando damos
uma volta completa o argumento deve aumentar de 2 Pi e ficar constante
ao mesmo tempo o que � um absurdo.
 
> (3) A afirma��o "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... e escolhas
> diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z" me deixa com a
> id�ia de que eu posso escolher o corte que me convier, o que faz com que a
> fun��o "ln z" n�o tenha uma defini��o �nica. � isso mesmo?

Para qualquer conjunto aberto e simplesmente conexo X contido em C
com 0 n�o pertencente a X e 1 pertence a X existe uma �nica fun��o
cont�nua f: X -> C satisfazendo f(1) = 0 e exp(f(z)) = z para todo
z in X.

De novo a quest�o � definir continuamente o argumento.

> (4) Faz sentido dizer que um n�mero complexo � positivo ou negativo? Se
> fizer, quando ele � positivo e quando � negativo?

N�o existe nenhuma defini��o �til ou usual de n�mero complexo positivo.
Para mim quando se escreve 'z > 0' o que se est� dizendo implicitamente
� 'z � real e z > 0'.

> (5) Por favor sugiram livros onde eu possa encontrar respostas para este tipo
> de perguntas. Embora eu tenha estudado n�meros complexos e trabalhado com
> eles - sou engenheiro eletr�nico - n�o me lembro de ter sido exposto �s
> defini��es e conceitos acima.

O Morgado j� indicou dois livros excelentes,
o Churchill e o Ahlfors (Complex Analysis).
Um livro diferente que talvez interesse � o Henrici,
Applied and Computational Complex Analysis (3 vols).

[]s, N.
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