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Alg�m
poderia me dizer qual � a defini��o de n�mero da cobertura de Lesbegue (ou,
simplesmente, n�mero de Lesbegue)? Eu j� vi 3 definui��es correlatas, embora n�o
exatamente iguais, todas referentes a espa�os m�tricos compactos e coberturas
abertas dos mesmos. Sendo ent�o S um espa�o m�trico compacto e G uma cobertura
aberta do mesmo, dizemos, de acordo com cada uma das 3 definic�es a seguir, que
L>0 � um n�mero de Lesbegue, se: 1)
Para qualquer x em S, a bola aberta de
centro em x e raio L est� contida em algum dos membros de G (parece ser a
defini��o mais usual) 2)
Todo subconjunto de S com di�metro menor do
que L est� contido em algum dos membros de G (consta no livro de Munkres, Topology). 3)
Dados quaisquer x e y em S tais que d(x,y)<L
, existe ent�o um mesmo conjunto em G que cont�m simultaneamente x e y. (Esta
defini��o consta no livro Elements of Real Analysis, de Robert Bartle) Acho
que (1) e (2) s�o equivalentes (embora 2 estabele�a di�metro estritamente menor
do que L) e, � claro, (2) => (3).� Mas
n�o me parece que (3) =>(2). � Obrigado Artur |