|
Oi pessoal!
Então teriamos (-a)^i=(a)^(-i), ou seja a=0 é
solução trivial
Eleve ambos os lados da equação a i. Temos
(-a)^(-1)=a <=>-1/a=a<=>a^2=-1<=>a=i ou a= -i
Não sei se existem outras raízes pois não sei
trabalhar direito com potêncis de expoente i(por exemplo não sei quanto vale i^i
ou (-1)^i).
Comentando a solução do problema eu tinha pensado
no seguinte quando imaginei o problema:
Se (-a)^k=(a)^(-k), temos que
|(-a)^k|=|a^(-k)| => |a^k|=|a^(-k)| => |a|^k = |a|^(-k) Temos
então que para k=0 para qualquer valor de a a relação é verdadeira o que não nos
interessa. Temos também a solução trivial a=0 (solução 1) Então se a e k não são
0, |a|^2k=1 => |a| = (1)^(1/2k) => |a| = 1 ( I ).
Mas se (-a)^k=a^(-k), então arg((-a)^k) =
arg(a^(-k)) => k.arg(-a) = -k.arg(a) . Como se arg(a)
= x => arg(-a) = x + pi, então temos k.pi + k.x = -k.x => k(pi +
2x)=0
k é diferente de 0, logo pi+2x=0 => x1 = -pi/2 =3pi/2 ou x2= -3pi/2 = pi/2.
Logo existem outros 2 valores possíveis de a :
a=1.(cos(pi/2) + i.sen(pi/2)) = i e a =
1.(cos(3pi/2) + i.sen (3pi/2)) = -i
S= {0,i,-i}
André T. |