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Re: [obm-l] E o Nivel Tres,ninguem faz nada??????



ah, essa é legal...
pegue p e q primos absurdamente gigantes!
S = {2.p^q, 3p^q, ...., 2003.p^q} é um conjunto com 2002 inteiros positivos sendo que qualquer soma entre eles dá um número k.p^q
onde 2 <=k <= 2+3+...+2003
como q é primo, a única maneira de k.p^q ser uma potência perfeita é se for da forma a^q (a^(nq) tb serve, mas dá no mesmo pois é (a^n)^q).
como p é primo e a fatoração em primos é única tevemos ter k = d^q para algum d > 0, mas b^q (b > 1) é muito maior que k, e por tanto k.p^q não é potência perfeita para nenhum k dentro dos limites acima.
 
na verdade esse exemplo pode ser extendido para qualquer conjunto finito de inteiros, basta trocar o 2002 por N...
 

Demonstre a existencia de 2002 inteiros positivos tais que nao seja possivel escolher alguns deles(pelo menos 1),soma-los e obter uma potencia perfeita(um numero da forma ab,com a,b maiores que 1.

Eu fiz por induçao.Depois digo,quero ver quem consegue pensar....



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