|
1/x + 1/y = (x + y)/xy = 1/1998
suponha x, y > 0
se d = mdc(x, y)
[(x + y)/d]/[xy/d] é a forma irredutível do
racional e, como 1/1998 já está na forma irredutível:
(x + y)/d = 1 => d = x + y
uma contradição, pois se d|x, (x + y)|x e x + y
> x...
logo um deles é negativo...
para x > y > 0
1/y - 1/x = (x - y)/xy =
1/1998
o método do nosso colega Augusto pode então ser
empregado:
1998(x - y) = xy
xy + 1998y - 1998x = 0
(x + 1998)(y - 1998) = -1998² =
-2².3^6.37²
como a fatoração em primos deve ser única, podemos
estabelecer todas as possibilidades para os fatores do lado esquerdo e depois
verificar se x > y > 0, se as condições forem satisfeitas o par (-x,
y) é solução do problema.
ex.
1998² = (37².2²).(3^6)
x' + 1998 = 37².2² = 5476
y' - 1998 = -3^6 = -729
x' = 3478
y' = 1269
1/1269- 1/3478 = (3478 - 1269)/(3478.1269) =
1/1998. |