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Re: [obm-l] Circulo de 9 pontos e reta de Simson







>From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Circulo de 9 pontos e reta de Simson
>Date: Sat, 07 Sep 2002 01:51:58 +0000
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>Ola pessoal,
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>Gostaria muito de saber quais seriam as propriedades do circulo de 9 pontos 
>e da reta de Simson.
>                                           Um abra�o,Leonardo
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Da reta de Simson s� sei a defini��o(dado um ponto no circunc�rculo tome os 
tr�s p�s com rela��o a cada um dos lados ou extens�es estes tr�s pontos s�o 
sempre colineares e a reta que os cont�m � chamada reta de Simson).

Conhe�o melhor as propriedades do c�rculo dos nove pontos( na verdade estava 
estudando isto justamente agora), bem para come�ar o c�rculo dos nove pontos 
� o c�rculo que cont�m os tr�s pontos m�dios dos lados e acaba que esse 
c�rculo tamb�m cont�m os tr�s p�s das alturas e os pontos m�dios do 
ortocentro com os v�rtices.

No tri�gulo ABC, sejam H � o Ortocentro, O o centro do circunc�rculo; Ma, Mb 
e Mc os pontos m�dios dos lados a,b,c(opostos aos v�rtices A,B e C 
respectivamente);Pa, Pb e Pc os p�s das alturas; Ha, Hb e Hc os pontos 
m�dios de HA, HB e HC.

1) Seu raio � metade do raio do circunc�rculo.
2) Seu centro est� no ponto m�dio do circuncentro com o ortocentro (a reta 
que cont�mestes pontos se chama linha de Euler e cont�m tamb�m o 
Baricentro).
3) Se H � o Ortocentro. Os tri�ngulos ABC, AHB, BHC e CHA tem o mesmo 
c�rculo dos nove pontos (na verdade os mesmos nove pontos).
4) (Teorema de Feuerbach's) Ele � tangente internamente ao inc�rculo e 
externamente aos tr�s ex-circunc�rculos.

a) Com ele � poss�vel demonstrar que HA=2OMa.
b) O centro do circunc�rculo de AHB � o reflexo de O pelo lado AB.(por 3) e 
1) eles tem o mesmo raio).
c) O reflexo do H por qualquer lado pertence ao circunc�rculo.

Deve ter dado pra ver que este c�rculo � bem m�gico.
Quanto a demonstra��o desses fatos a menos do 4) n�o s�o muito dif�ceis(se 
voc� j� viu antes). Tem uma demonstra��o do teorema dos nove pontos que eu 
vi no livro do Coxeter "Introduction to Geometry" que demonstra dum jeito 
bem simples(e m�gico) mostrando primeiro que Ma, Mb, Mc, Ha, Hb e Hc est�o 
num mesmo c�rculo e que este c�culo cont�m os p�s das alturas � imediato(na 
demonstra��o), n�o sei se j� conhece mas vou colocar mesmo assim pra quem 
quiser conhecer.
(// significa paralelo e A-B significa o segmento AB)

Demonstra��o:

Primeiro Ma-Mb // A-B (pontos m�dios) da mesma forma Ha-Hb // A-B.
Com a mesma id�ia teremos Ma-Ha // H-C e Hb-Mb // H-C  como H-C � 
perpendicular � A-B temos que HaHbMaMb � um ret�ngulo logo estes pontos 
est�o num mesmo c�rculo de di�metros Ma-Ha e Mb-Hb(diagonais do ret�ngulo) e 
claro que seu centro est� no ponto m�dio de Ma-Ha e Mb-Hb.
Se repetirmos esta id�ia para os outros lados teremos outros tr�s ret�ngulos 
com diagonais Ma-Ha, Mb-Hb e Mc-Hc que se cruzam em seus pontos m�dios logo 
este ponto � o centro do c�rculo que passa por Ma, Mb, Mc, Ha, Hb e Hc. 
Agora o golpe final o di�metro Hc-Mc � a hipotenusa do tri�ngulo ret�ngulo 
PcMcHc logo Pc tamb�m pertence ao c�rculo, e analogamente para os outros 
p�s.

Para um teorema desses n�o podia ter demonstra��o mais simples. Como isto se 
relaciona com os outros fatos principalmente 1), 2), a), b) e c). N�o fica 
claro, apesar de a partir da� ser demonstr�vel. No entanto conhe�o outra 
demonstra��o que demonstra tudo isso junto e que me parece menos m�gico e 
mais natural. Se quiserem ela me pe�am que eu posso mandar para a lista. O 
fato 4) tem uma demonstra��o por invers�o(transforma��o geom�trica legal) no 
livro do Coxeter "Geometry Revisited" e neste livro tamb�m tem uma 
demostra��o f�cil das linhas de Simson .
Se voc� sabe um pouco de ingl�s recomendo os sites:

http://www.cut-the-knot.com/
Este site � o m�ximo tem muita geometria junto com as demonstrac�es e est� 
cheio de aplicativos interativos.

http://mathworld.wolfram.com/
Este � um site enciclop�dico(provavelmete o melhor lugar pra procurar 
propriedades e teoremas em geral mas em geral n�o tem demontra��es mas ele 
indica refer�ncias).






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