Re: [obm-l] IMO dia 2, Q4 (solucao corrigida)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Acabei de ver uma grande falha na minha letra (a)..  Usei a desigualdade das
medias ao contrario :)) A letra (b) parece estar certa...
Uma maneira correta de fazer a (a) poderia ser continuando o que eu fiz:
Eh facil ver que d_(k-1) = n /d2 (se fosse da forma n/di com i>2,
teriamos di>d2 e n/d2>n/di), e em geral, d_(j) = n / d_(k+1-j).
Mas d_(i) >= i para todo i.. Logo, d_(j) <= n/(k+1-j) e d_(j) * d_(j+1) <=
n^2 / [(k+1-j)*(k+2-j)]
Somando em j, a soma eh telescopica (escrevendo 1/b(b+1) como 1/b - 1/(b+1))
e vemos que o lado direito eh n^2(1-1/k) < n^2...

Desculpem a besteira do ultimo email..

t+
Marcio



----- Original Message -----
From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, July 27, 2002 1:43 PM
Subject: Re: [obm-l] IMO dia 2, Q4 (solucao)


> Essa eh a minha solucao para o problema 4, do 2o dia.. O 5 eu tentei mas
nao
> consigui progredir muito.. E o 6 eu nem tive coragem de tentar escrever..
>
> "Traducao:" Seja n um inteiro maior que 1. Os divisores positivos de n sao
> d1, d2, ..., dk; onde
> 1=d1<d2<d3<...<dk=n.
> Defina D =d1*d2 + d2*d3 + d3*d4 + ... + dk-1*dk.
> a) Mostre que D < n^2
> b) Determine todos os n para os quais D eh divisor de n^2.
>
> Engracado que esse exercicio me pareceu no mesmo estilo e mesmo nivel de
> dificuldade que o 4 da imo2001... Talvez a maior dica seja o fato de as
> letras (a) e (b) a principio parecerem nao ter nada a ver uma com a
outra...
>
> a) Eh facil ver que d_(k-1) = n /d2 (se fosse da forma n/di com i>2,
> teriamos di>d2 e n/d2>n/di), e em geral, d_(k-a) = n / d_(a+1).
>
> 1) se n nao for quadrado perfeito
> Juntando os extremos (lembrando que se n nao for quadrado, D tem um numero
> impar (k-1) de parcelas, e o termo do meio nao sera juntado),
> temos pela desigualdade das medias que:
> d1d2 + d_(k-1)*dk         <= 2n,
> d2d3 + d_(k-2)*d_(k-1) <= 2n
> ...
> termo do meio: d_(k-1)/2 * d_(k+1)/2 = n
>
> Somando tudo, temos D <= [(k-2)/2]*2n + n < n(n-2)+n = n^2 - n < n^2.
>     (claro que k<=n, pois todo divisor de n eh menor ou igual a n e soh
> existem n naturais <= n)
> 2) Se n for quadrado perfeito, nao existe parcela do meio.. Eh soh somar
as
> k-1 desigualdades para obter
> D <= [(k-1)/2]*2n <= (n-1)*n = n^2 - n < n^2.
>
> b) A letra (a) eh a dica..
> Testando um pouco, nota-se que se n for primo, entao D=1.n = n eh um
divisor
> de n^2.
> Se porem n nao for primo, entao seus divisores sao 1<d2<...<= d_(k-1)<n,
com
> d2 diferente de n
> (pd se ter d2=d_(k-1) se n for quadrado).
> Portanto, D = 1.d2 + ... + d_(k-1)*n = 1.d2 + ... + n^2 / d2 > n^2 / d2.
>
> Logo, pela letra (a), temos (n^2 / d2) < D < n^2 e isso implica que D nao
eh
> um divisor de n^2, pois o 2o maior divisor de n^2 eh (n^2 / d2)...  (*)
> Concluimos entao que apenas os primos tem a propriedade (b).
>
> *: de fato, td divisor de n^2 eh da forma n^2 / k, e se n^2 / k > n^2 /
d2,
> entao k < d2.. por outro lado, pegando um dos fatores primos p de k, temos
> p<k<d2 e p eh um divisor de n, o que eh absurdo
>
> Abracos,
> Marcio
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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