Re: [obm-l] IMO dia 2, Q4 (solucao)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Essa eh a minha solucao para o problema 4, do 2o dia.. O 5 eu tentei mas nao
consigui progredir muito.. E o 6 eu nem tive coragem de tentar escrever..

"Traducao:" Seja n um inteiro maior que 1. Os divisores positivos de n sao
d1, d2, ..., dk; onde
1=d1<d2<d3<...<dk=n.
Defina D =d1*d2 + d2*d3 + d3*d4 + ... + dk-1*dk.
a) Mostre que D < n^2
b) Determine todos os n para os quais D eh divisor de n^2.

Engracado que esse exercicio me pareceu no mesmo estilo e mesmo nivel de
dificuldade que o 4 da imo2001... Talvez a maior dica seja o fato de as
letras (a) e (b) a principio parecerem nao ter nada a ver uma com a outra...

a) Eh facil ver que d_(k-1) = n /d2 (se fosse da forma n/di com i>2,
teriamos di>d2 e n/d2>n/di), e em geral, d_(k-a) = n / d_(a+1).

1) se n nao for quadrado perfeito
Juntando os extremos (lembrando que se n nao for quadrado, D tem um numero
impar (k-1) de parcelas, e o termo do meio nao sera juntado),
temos pela desigualdade das medias que:
d1d2 + d_(k-1)*dk         <= 2n,
d2d3 + d_(k-2)*d_(k-1) <= 2n
...
termo do meio: d_(k-1)/2 * d_(k+1)/2 = n

Somando tudo, temos D <= [(k-2)/2]*2n + n < n(n-2)+n = n^2 - n < n^2.
    (claro que k<=n, pois todo divisor de n eh menor ou igual a n e soh
existem n naturais <= n)
2) Se n for quadrado perfeito, nao existe parcela do meio.. Eh soh somar as
k-1 desigualdades para obter
D <= [(k-1)/2]*2n <= (n-1)*n = n^2 - n < n^2.

b) A letra (a) eh a dica..
Testando um pouco, nota-se que se n for primo, entao D=1.n = n eh um divisor
de n^2.
Se porem n nao for primo, entao seus divisores sao 1<d2<...<= d_(k-1)<n, com
d2 diferente de n
(pd se ter d2=d_(k-1) se n for quadrado).
Portanto, D = 1.d2 + ... + d_(k-1)*n = 1.d2 + ... + n^2 / d2 > n^2 / d2.

Logo, pela letra (a), temos (n^2 / d2) < D < n^2 e isso implica que D nao eh
um divisor de n^2, pois o 2o maior divisor de n^2 eh (n^2 / d2)...  (*)
Concluimos entao que apenas os primos tem a propriedade (b).

*: de fato, td divisor de n^2 eh da forma n^2 / k, e se n^2 / k > n^2 / d2,
entao k < d2.. por outro lado, pegando um dos fatores primos p de k, temos
p<k<d2 e p eh um divisor de n, o que eh absurdo

Abracos,
Marcio

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