[obm-l] Re: [obm-l] equações funcionais

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Aproveitando que eu estou de ferias, seguem as solucoes que vc pediu.. Eu
escrevi num papel antes, e ai resumi aqui o que eu fiz.. Espero estar
correto.

1. f(m+f(n))=f(m)+n
     a. Pondo m=0, fof(n)=f(0)+n donde f eh uma bijecao.
     b. Tome n tq f(n)=0. Entao, f(m)=f(m)+n implica n=0. Como f eh bij,
f(0)=0.
     c. Tome m=x, n = f(y) na eq. funcional. Por a. e b., f(x+y)=f(x)+f(y)
sempre.
     d. Por inducao, vc conclui que f(kx)=kf(x) para todo x.
     e. Tomando x=1, deve-se ter f(k)=kf(1) para todo inteiro k.
     f. Substituindo na eq. original:
          [m+nf(1)]f(1) = mf(1)+n sse nf(1)^2 = n sse f(1)=1 ou -1.
 Logo, as possiveis solucoes sao f(z)=z para todo z ou f(z)=-z para td z.

2. f(x+y) + f(x-y)=2f(x)+2f(y)
     a. y=0 implica f(0)=0.
     b. x=0 implica f(x) eh uma fc par.
     c. pondo x=y, vc ve que f(2x)=4f(x).. Ai vc tenta y=2x e ve que
f(3x)=9f(x)...
     d. Por inducao em m, f(mx)=m^2 * f(x) para todo m inteiro, x racional.
     De fato, se vale para m e m-1,
         f(x+mx) = 2f(x)+2f(mx)-f[(m-1)x] = 2f(x) + 2m^2f(x) -
f(x)*(m-1)^2=>
         f[(m+1)x]=f(x)*(m+1)^2
     e. Se vc tiver um racional p/q,
        f(px) = p^2 * f(x) e
        f(px) = f(qpx/q) = q^2 * f(px/q)
     Juntando, f(px/q) = (p^2/q^2)*f(x), logo a propriedade d. vale para
todo racional.
     f. Sendo c=f(1), temos entao f(m)=c*m^2 para todo racional m (por b. e
d.)
     g. Substituindo no problema, vemos que essa f eh solucao sse
       c(x+y)^2 + c(x-y)^2 = 2cx^2 + 2cy^2 que vale para todo c.
 Portanto, as possiveis funcoes sao f(x)=cx^2, c um racional qualquer.

3. f(f(n))=n+1987
 Caiu uma versao 'igual' desse problema numa obm recente (uns 4 anos). Vc
pode ver a solucao em http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln874.html
ou em www.obm.org.br/provas/obm98/3fase.htm

[]'s
Marcio

----- Original Message -----
From: "Henrique Lima Santana" <santanahenrique@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, July 11, 2002 9:39 AM
Subject: [obm-l] equações funcionais


> ae, gostaria de alguma ajuda nestas equações funcionais:
> 1.(africa do sul-97). encontre todas as funções f:Z->Z que satisfazem
> f(m+f(n))=f(m)+n, pra quaisquer m,n inteiros.
> 2.(olimpiada nordica 98) encontre todas as funções de racionais em
racionais
> satisfzendo f(x+y) + f(x-y)=2f(x)+2f(y)
> 3.(imo-87) existirá uma função f:N->N tal que f(f(n)=n+1987 pra todo
natural
> n ?? fundamante.
>
> valeu!
>
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