Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionalização

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Andei pensando e concluí que "racionalizar o
denominador de 1/cos(pi/9)" não faz muito sentido...
aliás, como definir de modo preciso uma fração com
denominador racionalizado? Uma fração com denominador
racional? Acho que não: veja que 1/[2sqrt(2)] = a/2,
com a = 1/sqrt(2), não deixa de ter o denominador
racionalizado! Mas, enfim, acho que essa discussão é
irrelevante, dado que nos probleminhas de racionalizar
denominadores mais complicados só aparecem raízes no
máximo cúbicas (e para as quais o método do polinômio
sempre funciona).

[]'s
Shine

--- Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> wrote:
> Na verdade, pode-se racionalizar o denominador de
> qualquer fração com denominador algébrico. Um número
> é
> algébrico se e somente se é raiz de um polinômio de
> coeficientes inteiros.
> 
> A idéia é a seguinte: digamos que queremos
> racionalizar 1/a, onde a é algébrico. Encontramos um
> polinômio de coeficientes inteiros p(x) que admite a
> como raiz e fazemos:
> 
> p(a) = 0 <=> p(a) - p(0) = p(0)
>          <=> [p(a) - p(0)]/[ap(0)] = 1/a
> 
> Como p(0) é o coeficiente independente de p(x), 
> p(x)-p(0) é divisível por x, e obtemos um polinômio
> de
> coeficientes inteiros.
> 
> Exemplificando: se a = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5),
> temos que a^2 = 9 + 2(sqrt(6) + sqrt(10) +
> sqrt(15)).
> Elevando mais uma vez ao quadrado (tenha fé!), temos
> 
> (a^2-9)^2 = 4(31 + 2(sqrt(60)+sqrt(90)+sqrt(150)))
>           = 124 + 2sqrt(30)(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5))
>           = 124 + 2sqrt(30)*a
> 
> Logo a^4 - 18a^2 + 81 = 124 + 2sqrt(30)a <=>
>      a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
> 
> A gente poderia elevar ao quadrado mais uma vez, mas
> não vai ser necessário. Veja:
> 
>     a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
> <=> a^3 - 18a - 2sqrt(30) = 43/a
> <=> [a^3 - 18a - 2sqrt(30)]/43 = 1/a.
> 
> Pronto, está racionalizado (vc pode substituir a no
> numerador, mas estou contente assim). OK, deu mais
> trabalho que a outra solução, mas agora vc pode
> racionalizar frações mais complicadas, como
> (18^(1/3)
> + 12^(1/3) - 1)^(-1), por exemplo (ou até mesmo
> coisas
> mais estranhas como 1/cos(pi/9)!!). Tente!
> 
> []'s
> Shine
> 
> --- luizhenriquerick@zipmail.com.br wrote:
> > 
> > Obrigado , amigo Davidson .
> > Abraço.
> > Rick
> > -- Mensagem original --
> > 
> > >   
> > >    Parece que houve problemas, com o arquivo em
> > anexo que enviei.
> > >
> > >    Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o
> > numerador e o denominador
> > por:
> > > 3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que
> > resultarar em: (3*(2)^(1/2)
> > >+ 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12.
> > >
> > >   Felicidades.
> > >
> > >   Davidson Estanislau
> > >
> > >
> > >-----Mensagem Original----- 
> > >De: Davidson Estanislau 
> > >Para: obm 
> > >Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34
> > >Assunto: [obm-l] Re: Racionalização
> > >
> > >
> > >
> > >   Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você.
> > Veja como fiz:
> > >
> > >    
> > >
> > >
> > >   Felicidades!
> > >
> > >   Davidson Estanislau
> > >
> > >
> > >-----Mensagem Original----- 
> > >De: <luizhenriquerick@zipmail.com.br>
> > >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29
> > >Assunto: [obm-l] Racionalização
> > >
> > >
> > >Estava resolvendo algumas questões do
> selecionados,
> > e me deparei com algumas
> > >dúvidas de teoria.
> > >*Como faço para racionalizar denominadores com
> mais
> > de 3 raízes ?
> > >Exemplo simples :
> > >   1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)]
> > >
> > >*Como faço para racionalizar denominadores com
> mais
> > de uma raiz , do tipo
> > >:
> > >1/[raiz4(2) + 1 ]
> > >Será que a relação 
> > >1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p -
> > 1)     é válida ?
> > >
> > >*A relação do radical duplo , serve para raízes
> que
> > não sejam quadradas
> > >?
> > >Ex:
> > >raiz 5 [2 + raiz 3(3)]
> > >
> > >Obrigado.
> > >
> > >
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