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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionaliza��o
Andei pensando e conclu� que "racionalizar o
denominador de 1/cos(pi/9)" n�o faz muito sentido...
ali�s, como definir de modo preciso uma fra��o com
denominador racionalizado? Uma fra��o com denominador
racional? Acho que n�o: veja que 1/[2sqrt(2)] = a/2,
com a = 1/sqrt(2), n�o deixa de ter o denominador
racionalizado! Mas, enfim, acho que essa discuss�o �
irrelevante, dado que nos probleminhas de racionalizar
denominadores mais complicados s� aparecem ra�zes no
m�ximo c�bicas (e para as quais o m�todo do polin�mio
sempre funciona).
[]'s
Shine
--- Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> wrote:
> Na verdade, pode-se racionalizar o denominador de
> qualquer fra��o com denominador alg�brico. Um n�mero
> �
> alg�brico se e somente se � raiz de um polin�mio de
> coeficientes inteiros.
>
> A id�ia � a seguinte: digamos que queremos
> racionalizar 1/a, onde a � alg�brico. Encontramos um
> polin�mio de coeficientes inteiros p(x) que admite a
> como raiz e fazemos:
>
> p(a) = 0 <=> p(a) - p(0) = p(0)
> <=> [p(a) - p(0)]/[ap(0)] = 1/a
>
> Como p(0) � o coeficiente independente de p(x),
> p(x)-p(0) � divis�vel por x, e obtemos um polin�mio
> de
> coeficientes inteiros.
>
> Exemplificando: se a = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5),
> temos que a^2 = 9 + 2(sqrt(6) + sqrt(10) +
> sqrt(15)).
> Elevando mais uma vez ao quadrado (tenha f�!), temos
>
> (a^2-9)^2 = 4(31 + 2(sqrt(60)+sqrt(90)+sqrt(150)))
> = 124 + 2sqrt(30)(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5))
> = 124 + 2sqrt(30)*a
>
> Logo a^4 - 18a^2 + 81 = 124 + 2sqrt(30)a <=>
> a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
>
> A gente poderia elevar ao quadrado mais uma vez, mas
> n�o vai ser necess�rio. Veja:
>
> a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
> <=> a^3 - 18a - 2sqrt(30) = 43/a
> <=> [a^3 - 18a - 2sqrt(30)]/43 = 1/a.
>
> Pronto, est� racionalizado (vc pode substituir a no
> numerador, mas estou contente assim). OK, deu mais
> trabalho que a outra solu��o, mas agora vc pode
> racionalizar fra��es mais complicadas, como
> (18^(1/3)
> + 12^(1/3) - 1)^(-1), por exemplo (ou at� mesmo
> coisas
> mais estranhas como 1/cos(pi/9)!!). Tente!
>
> []'s
> Shine
>
> --- luizhenriquerick@zipmail.com.br wrote:
> >
> > Obrigado , amigo Davidson .
> > Abra�o.
> > Rick
> > -- Mensagem original --
> >
> > >
> > > Parece que houve problemas, com o arquivo em
> > anexo que enviei.
> > >
> > > Mas a id�ia � a seguinte: multiplica-se o
> > numerador e o denominador
> > por:
> > > 3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que
> > resultarar em: (3*(2)^(1/2)
> > >+ 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12.
> > >
> > > Felicidades.
> > >
> > > Davidson Estanislau
> > >
> > >
> > >-----Mensagem Original-----
> > >De: Davidson Estanislau
> > >Para: obm
> > >Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34
> > >Assunto: [obm-l] Re: Racionaliza��o
> > >
> > >
> > >
> > > Ol� luiz! Espero que esteja tudo bem com voc�.
> > Veja como fiz:
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Felicidades!
> > >
> > > Davidson Estanislau
> > >
> > >
> > >-----Mensagem Original-----
> > >De: <luizhenriquerick@zipmail.com.br>
> > >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Enviada em: Ter�a-feira, 2 de Julho de 2002 23:29
> > >Assunto: [obm-l] Racionaliza��o
> > >
> > >
> > >Estava resolvendo algumas quest�es do
> selecionados,
> > e me deparei com algumas
> > >d�vidas de teoria.
> > >*Como fa�o para racionalizar denominadores com
> mais
> > de 3 ra�zes ?
> > >Exemplo simples :
> > > 1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)]
> > >
> > >*Como fa�o para racionalizar denominadores com
> mais
> > de uma raiz , do tipo
> > >:
> > >1/[raiz4(2) + 1 ]
> > >Ser� que a rela��o
> > >1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p -
> > 1) � v�lida ?
> > >
> > >*A rela��o do radical duplo , serve para ra�zes
> que
> > n�o sejam quadradas
> > >?
> > >Ex:
> > >raiz 5 [2 + raiz 3(3)]
> > >
> > >Obrigado.
> > >
> > >
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