Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Racionalização

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Na verdade, pode-se racionalizar o denominador de
qualquer fração com denominador algébrico. Um número é
algébrico se e somente se é raiz de um polinômio de
coeficientes inteiros.

A idéia é a seguinte: digamos que queremos
racionalizar 1/a, onde a é algébrico. Encontramos um
polinômio de coeficientes inteiros p(x) que admite a
como raiz e fazemos:

p(a) = 0 <=> p(a) - p(0) = p(0)
         <=> [p(a) - p(0)]/[ap(0)] = 1/a

Como p(0) é o coeficiente independente de p(x), 
p(x)-p(0) é divisível por x, e obtemos um polinômio de
coeficientes inteiros.

Exemplificando: se a = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5),
temos que a^2 = 9 + 2(sqrt(6) + sqrt(10) + sqrt(15)).
Elevando mais uma vez ao quadrado (tenha fé!), temos

(a^2-9)^2 = 4(31 + 2(sqrt(60)+sqrt(90)+sqrt(150)))
          = 124 + 2sqrt(30)(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5))
          = 124 + 2sqrt(30)*a

Logo a^4 - 18a^2 + 81 = 124 + 2sqrt(30)a <=>
     a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a

A gente poderia elevar ao quadrado mais uma vez, mas
não vai ser necessário. Veja:

    a^4 - 18a^2 - 43 = 2sqrt(30)a
<=> a^3 - 18a - 2sqrt(30) = 43/a
<=> [a^3 - 18a - 2sqrt(30)]/43 = 1/a.

Pronto, está racionalizado (vc pode substituir a no
numerador, mas estou contente assim). OK, deu mais
trabalho que a outra solução, mas agora vc pode
racionalizar frações mais complicadas, como (18^(1/3)
+ 12^(1/3) - 1)^(-1), por exemplo (ou até mesmo coisas
mais estranhas como 1/cos(pi/9)!!). Tente!

[]'s
Shine

--- luizhenriquerick@zipmail.com.br wrote:
> 
> Obrigado , amigo Davidson .
> Abraço.
> Rick
> -- Mensagem original --
> 
> >   
> >    Parece que houve problemas, com o arquivo em
> anexo que enviei.
> >
> >    Mas a idéia é a seguinte: multiplica-se o
> numerador e o denominador
> por:
> > 3*(2)^(1/2) + 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2). Que
> resultarar em: (3*(2)^(1/2)
> >+ 2*(3)^(1/2) - (30)^(1/2))/12.
> >
> >   Felicidades.
> >
> >   Davidson Estanislau
> >
> >
> >-----Mensagem Original----- 
> >De: Davidson Estanislau 
> >Para: obm 
> >Enviada em: Sexta-feira, 5 de Julho de 2002 16:34
> >Assunto: [obm-l] Re: Racionalização
> >
> >
> >
> >   Olá luiz! Espero que esteja tudo bem com você.
> Veja como fiz:
> >
> >    
> >
> >
> >   Felicidades!
> >
> >   Davidson Estanislau
> >
> >
> >-----Mensagem Original----- 
> >De: <luizhenriquerick@zipmail.com.br>
> >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Enviada em: Terça-feira, 2 de Julho de 2002 23:29
> >Assunto: [obm-l] Racionalização
> >
> >
> >Estava resolvendo algumas questões do selecionados,
> e me deparei com algumas
> >dúvidas de teoria.
> >*Como faço para racionalizar denominadores com mais
> de 3 raízes ?
> >Exemplo simples :
> >   1/[sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)]
> >
> >*Como faço para racionalizar denominadores com mais
> de uma raiz , do tipo
> >:
> >1/[raiz4(2) + 1 ]
> >Será que a relação 
> >1/[raiz n (a^p)] = raiz n (a^p - 1)/raiz n (a^p -
> 1)     é válida ?
> >
> >*A relação do radical duplo , serve para raízes que
> não sejam quadradas
> >?
> >Ex:
> >raiz 5 [2 + raiz 3(3)]
> >
> >Obrigado.
> >
> >
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