[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas

["Daniel" <costafdaniel@xxxxxxxxx>]

(IME-2001) a) Sejam x,y,z números reais positivos, prove
> que:
>             x+y+z/3 maior ou igual a (x.y.z)^1/3
>
> Em que condições a igualdade se verifica?

        Ai vai a resposta do item a:

            É obvio que:
            x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy - xz - yz)
  e ainda o segundo termo da fatoração clássica pode ser escrito como:
        [(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2] / 2

            Sendo x, y z reias positivos, agora fica fácil perceber que o
primeiro termo da fatoração é positivo e o segundo também, logo o lado
esquerdo da igualdade é maior que zero:
        x^3 + y^3 +z^3 -3xyz > 0

        x^3 + y^3 + z^3 > 3xyz

       logo:

        (x + y +z)/3 > (xyz)^1/3

A igualde se verifica para x=y=z. Trata-se da desigualdade das médias para o
caso particular de três termos.
Se quiser a demonstração da fatoração acima é só pedir. Dica: tente
completar um cubo perfeito que sai.

                                    Daniel O. Costa



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