Re: [obm-l] (sem assunto)

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

>

>2) se x,y,z são números postivos, mostre que
>x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z.

Faça  x/y = a,  y/z = b  e  z/x = c   =>   a.b.c = 1  e a desigualdade é 
equivalente a  a^2 + b^2 + c^2 >= 1/a + 1/b + 1/c   =>
a^2 + b^2 + c^2 >= ab + ac + bc
que é um probleminha bem batido em olimpíada

>4)(CMO-1997) Prove que
>1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44.

Sejam x = (1/2)(3/4)(5/6)...(1997/1998) e
y = (2/3)(4/5)(6/7)...(1998/1999)
Como cada termo respectivo de y é maior que cada termo de x então
x < y   =>  x^2 < x.y = 1/1999   =>   x < 1/44

Sejam P = 2.4.6...1998  e  I = 1.3.5...1997
P = (2^999)(999!)
Assim:  x = I/P = I.P/P^2 = 1998!/(2^1998)(999!)^2   =>
x = C(1998,999)/2^1998

Sabemos que:
2^1998 = C(1998,0) + C(1998,1) + ... + C(1998,1998)
Como o maior coeficiente binomial de 2^1998 é C(1998,999) então
2^1998 < 1999.C(1998,999)

Portato:
x = C(1998,999)/2^1998 > C(1998,999)/[(1999).C(1998,999)]   =>
x > 1/1999


Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira





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