Re: [obm-l] Re:

[Marcos Aur�lio Almeida da Silva <maurelio1234@xxxxxxxxxxxx>]

outro dia estava pensando sob re esse tipo de quest�o(a^x=x^a) e eu descobri
um jeito de descobrir o n�mero de solu��es positivas, se ajudar a clarear :

    a^x = x^a
    e^(x*lna) = e^(a*lnx)
    x*lna = a*lnx
    lnx/x = lna/a
    e^(lnx/x) = e^(lna/a)
    x^(1/x) = a^(1/a)

como a^(1/a) � uma fun��o constante o problema se resume a descobrir o
n�mero de vezes que seu gr�fico corta o de x^(1/x).

para esbo�ar o gr�fico de x^(1/x)=f(x) :

lim f(x) = 1
x->+inf

lim f(x) = 0
x->0

f ' (x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx)

quando f ' (x)  = 0 ou n�o exixtir, provavelmente haver� um ponto de m�ximo,
ou de m�nimo:

f '( x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx) = 0, se um dos dois fatores for 0 ou n�o
existir

x^((1-2x)/x) = 0 , esse fator n�o pode ser zero mas n�o existe para x=0

1-lnx = 1
1 = lnx
e^1 = e^lnx
x = e,
esse fator n�o existe quando lnx n�o existir, ou seja quando x<=0

sabendo que o ponto x=e o gr�fico de f(x) � m�ximo seria come�ando do zero
subindo at� o m�ximo em              (e;e^(1/e)) e depois tendendo � 1.
(Fazendo o gr�fico no excel, v�-se que � assim).

para ver as solu��es positivas:

se a^(1/a) < 1 => 1 solu��o positiva menor que 1
se 1 < a^(1/a) < e^(1/e) => 2 solu��es positivas
se a^(1/a) = e^(1/a) => 1 solu��o positiva igual a e
se a^(1/a) = 1 => 1 solu��o positiva igual a 1

no caso de x^2 = 2^x

2^(1/2) =  1,414213562373...

1 <  1,414213562373... < 1,44466786100977...
logo h� duas solu��es positivas, uma entre 0 e e (x=2) e outra entre e e
+inf (x=4)

agora eu n�o sei fazer o gr�fico do lado negativo, pois ele n�o � cont�nuo

f(x) = x^(1/x)

f(x) < 0 se: 1) x<0, logo f(x) = 1 / (x^(1/|x|)), logo:
                   2) x deve ser  �mpar, ou uma fra��o irredut�vel de
denominador �mpar

----- Original Message -----
From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 19, 2002 11:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:


> Desenhando com cuidado, vemos que existem 3 solu��es. Da outra vez que
este
> problema passou na lista, acharam a raiz negativa por m�todos num�ricos.
>
> Bruno Leite
> http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>   At 13:47 19/04/02 +0000, you wrote:
>
> >  J� vi esta quest�o antes e s�o 3 solu��es reais; 2 e 4 s�o f�ceis de
> > serem vistas, mas existe uma terceira...algu�m consegue achar??
> >  []�s
> >F�
> >
> >
> >
> >
> >>     Essa eu j� vi diversas similares mas at� hoje n�o aprendi a fazer
esse
> >>tipo de quest�o... Mas, se for te ajudar, x=2 � uma solu��o "�bvia" do
> >>equa��o. Olhando pelo gr�fico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da
exp(x)),
> >>vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o
outro.
> >>
> >>Par�ntesis
> >>     Momento infame e infeliz daquele professor q n�o sabe responder:
> >> "Pronto,
> >>j� resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda
raiz.
> >>Agora o resto � com vc"
> >>Fim do(s) par�ntesis
> >>
> >>[]'s
> >>
> >>Alexandre Tessarollo
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