Re: [obm-l] Russas

[Humberto Naves <hnaves@xxxxxxxxx>]

 --- Henrique Lima Santana
<santanahenrique@hotmail.com> escreveu: >   Olá
pessoal,
> Olhem estas questões:
> 1. Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a
> igualdade : 3x^2 
> +x=4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito.
> 
> 2.Seja ABC um triangulo retangulo de hipotenusa AC
> .Sabendo que sobre o lado 
> BC existem pnts  D e E tais que BÂD=DÂE=EÂC  e
> EC=2BD . Determineos angulos 
> do triangulo.
> 
> 3.Eliminando-se o 2000º algarismo an expansão
> decimal da fração 1/p,p 
> primo>5,  obtemos a fração a/b; mostre q p|b.
> 
>   Se alguém puder me dar uma luz eu agradeço!
>   []´s
>    H!
> 
> 
> 
> 

    Olá Pessoal,
  1.Seja k = x - y; Temos: k^2+k(6y+1)=y^2 <=>
(2k+6y+1)^2 = (6y+1)^2 + (2y)^2. (Terna pitagórica)
    Mas mdc(2y, 6y+1)=1, logo existem a, b inteiros
tais que:
    (1) 6y+1 = a^2-b^2;
    (2) 2y = 2ab;
    (3) 2k+6y+1 = a^2+b^2;
    Substituindo (1) em (3), temos: k = b^2, logo
x-y=k é quadrado perfeito!

  3.Sabemos que a partir do 2001º dígito de 1/p e a
partir do 2000º dígito de a/b, a expansão decimal é a
mesma, ou seja:
    {10^2000/p} = {10^1999*a/b}, onde {x} é a parte
fracionária de x. Logo 10^2000/p - 10^1999*a/b é
inteiro.
    10^1999*(10b-ap)/pb e como p|ap e mdc(p,10)=1 =>
p|b.

  Falow, Humberto Silva Naves
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