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[obm-l] Notas de Aula

Oi.

V�rios professores j� disponibilizaram notas de aulas ministradas durante a semana ol�mpica.  Eles s�o pessoas dedicadas, organizadas e que tiveram o trabalho e a paci�ncia de compilar suas aulas e torn�-las acess�veis ao maior n�mero poss�vel de interessados.  Eu, por outro lado, sou uma pessoa desorganizada, desleixada e pregui�osa e, al�m disso, ocupada, assim ainda n�o escrevi nada e acho que n�o terei tempo para isso nos pr�ximos, digamos, cinco anos.  Para n�o deixar na m�o aqueles que gostariam de estudar o assunto sobre o qual falei (inteiros alg�bricos), estou enviando uma lista de refer�ncias.

N�vel III
N�o conhe�o uma fonte adequada para este n�vel sobre inteiros de Gauss e Eisenstein (Z[i] e Z[w], w^2 + w + 1 = 0).  Aguarde um futuro artigo da Eureka.  Sobre o crit�rio de Lucas-Lehmer, veja as excelentes notas do Gugu e Nicolau---Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)---dispon�veis nas p�ginas de ambos
    http://www.impa.br/~gugu
    http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html

A seguinte refer�ncia, Quadratische Zahlk�rper, do Franz Lemmermeyer, trata da aritm�tica em corpos quadr�ticos em geral.  As se��es iniciais cobrem exatamente o assunto da minha aula e s�o uma excelente fonte.
    http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/16

Elas est�o em alem�o.  Se voc� n�o fala alem�o, n�o tem problema!  Basta saber ler alem�o, que � bem mais simples do que falar.  Se voc� n�o sabe ler, bem...  Se algu�m da lista l� alem�o e se disponibilizar a traduzir alguns trechos, seria legal...  Em todo caso, o seguinte vocabul�rio pode ajudar, embora as palavras estejam sem tremas:
   http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/germanwords.html
   
Por fim, queria recomendar o gnu pari, uma calculadora especializada em teoria dos n�meros (ela trabalha com inteiros de Gauss e Eisenstein e muito mais, al�m de ter um monte de fun��es interessantes mesmo para quem s� est� interessado em teoria elementar dos n�meros: fatora��o em primos, resolu��o de Pell, Bezout, sistemas de congru�ncias, fun��o phi de Euler, entre outros).  Ela foi feita para profissonais, ent�o h� v�rias fun��es que s� interessam a especialistas, mas voc� pode ignor�-las.
  ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/

Usando o pari, voc� pode, por exemplo, verificar que e elevado a pi vezes a raiz quadrada de 163 �
   e^(pi*sqrt(163)) = 262537412640768743.9999999996...,
quase um inteiro.  Coincid�ncia?  N�o.  De fato, utilizando a fun��o j de Klein (ellj(x) no pari),
   j((1+sqrt(163))/2) = -262537412640768000
� um inteiro! Notam alguma semelhan�a?  Pois �, conhe�o uma demonstra��o maravilhosa para este fato.  Infelizmente a margem deste e-mail � muito curta para cont�-la...  De fato, esta explica��o requer um livro inteiro e � cheia de pr�-requisitos (que podem ser estudados em tempo finito, entretanto) e baseia-se na teoria de formas modulares e na teoria de corpos de classe.  Em suma, por enquanto aquela express�o ali em cima � uma curiosidade apenas.


N�vel U
Para este n�vel, h� bem mais material, de dificuldade e profundidade variadas.  A melhor introdu��o, na minha opini�o, � o livro do Ian Steward e David Tall, Algebraic Number Theory:       http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/1568811195/ref=pd_bxgy_text_1/102-1446712-5248159

Este livro aborda v�rios outros temas importantes dos quais n�o falei, como o n�mero de classe e o teorema das unidades de Dirichlet.  Equivalentes na web s�o os seguintes cursos do Robin Chapman, do J. Milne:
   http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/ant.pdf
   http://www.jmilne.org/math/

As notas do Chapman s�o bem detalhadas.  As do Milne s�o bem completas.  Na p�gina do Milne, voc� encontrar� outras refer�ncias sobre t�picos relacionados, bem como alguns pr�-requisitos para ler mais sobre o assunto (teoria de grupos e teoria de Galois, entre outros).
 
Na linha do curso do Lemmermeyer, abordando corpos quadr�ticos apenas, o Robin Chapman escreveu algumas notas de aula (as do Lemmermeyer s�o melhores):
   http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf

Pode ser uma boa come�ar por estas notas, pois elas s�o curtinhas e d�o uma boa id�ia de toda a teoria, j� que � poss�vel fazer v�rias contas na "m�o" neste caso (infelizmente as provas apresentadas n�o se generalizam facilmente).

Se voc� gostou do assunto e quiser estud�-lo para valer, recomendo ler (ap�s o Steward, Tall) o excelente livro do Borevich e Shafarevich, Number Theory (eu disse excelente, n�o criativo).  L� voc� encontra uma introdu��o bem simples a inteiros p-�dicos, e m�todos anal�ticos importantes e que n�o s�o cobertos pelos livros e cursos anteriores, como a fun��o zeta de Dedekind (que � parente pr�ximo da fun��o zeta de Riemann).


Bem, acho que isto � material suficiente para mant�-los ocupados at� que eu escreva algo.  Se precisarem de mais, � s� pedir!

At�,
ET




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