Re: [obm-l] Teorema de Fermat

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 18:30 30/01/02 +0000, you wrote:

>Me deixa eu ver se entendi. A fun��o zeta(s) N�O �  soma(1/n^s),  sen�o 
>ela n�o estaria definida para todo s complexo. Mas ela � uma extens�o de 
>soma(1/n^s) onde est� definida, para todo plano complexo. � isso? N�s 
>vamos estudar isso em fun��es anal�ticas?

N�o sei bem o que vamos ver no curso de fun��es anal�ticas, mas acho que 
n�o se fala da fun��o zeta.

>  Isso (a hip�tese de Riemann) me parece mais um problema de an�lise do 
> que de teoria dos n�meros. Por que � considerado teoria dos n�meros?

Porque sim.

Bruno
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Ok, vou falar s�rio. Euler foi o primeiro a ver uma liga��o entre a fun��o 
zeta e a teoria dos n�meros, quando ele achou a fatora��o "m�gica" abaixo: 
(para re(s)>1, obviamente)

zeta(s)=soma(1/n^s,n=1,2,3...)=produto_{sobre todos os primos p} 
(1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+...)

Voc� consegue provar a f�rmula acima? (ou ao menos ver que ela tem "cara de 
ser verdadeira"?)

Ali�s a soma 1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+... � soma de PG, logo,

zeta(s)=produto_{sobre todos os primos p}  1/(1-p^{-s})

Considere zeta(s) como fun��o de uma vari�vel real definida em 
(1,infinito). Ela � cont�nua e lim zeta(s) para s->1 � infinito...(s�rie 
harmonica diverge...)

A partir da� Euler deduziu que existem infinitos primos...n�o � dif�cil !

Abra�o,

Bruno Leite

PS mas � claro que existem mais liga��es entre zeta e teoria dos n�meros!!!

(...)

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