Re: [obm-l] Teorema de Fermat

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

-----Mensagem Original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quarta-feira, 23 de janeiro de 2002 12:54
Assunto: Re: [obm-l] Teorema de Fermat

> Lembro que um inteiro positivo n é perfeito se a soma dos divisores
> inteiros positivos de n menores do que n for n.
> Os menores números perfeitos são
>
>    6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
>   28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
>  496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
>
> Não é difícil demonstrar que n par é perfeito se e somente se n é na forma
> n = 2^(p-1) (2^p - 1) onde Mp = 2^p - 1 é primo (um primo de Mersenne).
> Ninguém sabe se existe algum número perfeito ímpar e ninguém sabe
> demonstrar que existem infinitos primos de Mersenne (donde infinitos
> números perfeitos pares).
> Lembro que um inteiro positivo n é perfeito se a soma dos divisores
> inteiros positivos de n menores do que n for n.
> Os menores números perfeitos são
>
>    6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
>   28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
>  496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
>
No exercício 78 do meu livro sobre Progressões
aparece o seguinte problema:

"Prove que, se 2^p -1 é um número primo, então
N = 2^(p-1) (2^p - 1) é um número perfeito."

Fiquei devendo a volta (acho que demonstrada por Euler).
Fica pra segunda edição.

E no livro do Simon Singh vi o seguinte resultado:

Se i=2^p -1, então N = 1 + 2 + ..... + i = (1+i)i/2.

>  496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

p=5; i=31; N=1+...+31=32*31/2 = 496.

[]´s
Luís


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