Re: [obm-l] Mais Cardinalidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jan 22, 2002 at 04:05:52PM +0000, dudasta wrote:
> > ---------- Mensagem original -----------
> > 
> > De      : owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> > Para    : obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cc      : 
> > Data    : Tue, 22 Jan 2002 13:54:07 -0200
> > Assunto : Re: [obm-l] Mais  Cardinalidade
> > 
> > On Mon, Jan 21, 2002 at 12:33:30PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote:
> > > estou lendo algo sobre isso..gostaria de alguns
> > > esclarecimentos ....Quais são os conjuntos de
> > > cardinalidade alef zero??e alef mais c???Quer dizer
> > > que temos 3 conjuntos infinitos com cardinalidades
> > > diferentes (c , alef e alef mais c)???
> > 
> > Alef zero é um nome para o cardinal do conjunto dos naturais
> > e c é um nome para o cardinal do conjunto dos reais.
> > Temos que (alef zero) + c = c.
> > Aliás sempre temos
> > 
> > a + b = a * b = max{a,b}
> > 
> > se a e b são cardinais infinitos.
> > > 
> > > No livro que eu estou olhando ele prova que a
> > > cardinalidade do conjunto das partes de um conjunto x
> > > é  maior que a cardinalidade do conjunto x.Entao se eu
> > > conseguir uma função bijetora entre um conjunto y e o
> > > conjunto das partes de x é a mesma coisa que dizer que
> > > a cardinalidade de y é maior que a de x???
> > 
> > Não é a mesma coisa. O conjunto y poderia ter um cardinal
> > ainda maior do que o conjunto das partes de x:
> > neste caso o cardinal de y seria bem maior do que o de x
> > e não haveria bijeção entre y e partes de x.
> > 
> > Ou talvez você estivesse tentando perguntar se vale
> > a seguinte implicação (onde a e b são cardinais infinitos
> > e 2^a é o cardinal das partes de x, onde x tem cardinal a):
> > 
> >      a < b   ->   2^a <= b
> > 
> > Esta é a famosa hipótese de contínuo generalizada.
> > Ela é independente dos axiomas usuais da teoria dos conjuntos.
> > 
> > []s, N.
> > 
> 
> Existe uma funcao logaritmo para os cardinais?
> Se o cardinal a eh igual ao cardinal alef 0, eu sei que nao existe um 
> cardinal b tal que 2^b = a. Mas e se o cardinal de a eh maior que o 
> cardinal alef 0, existe sempre um cardinal b com 2^b = a.
> Espero que esta seja uma pergunta interessante. Eh, ao menos, uma 
> curiosidade minha. Quanto ao excesso de uso da palavra cardinal, me 
> perdoem, melhor eu pecar por excesso do que por falta de termos.

Pode ser demonstrado (não é muito difícil) que não existe cardinal a
com 2^a = alef_omega, o menor cardinal que é maior do que uma infinidade
de outros cardinais infinitos. Isto não dependo da hipótese do contínuo
(mas fica trivial com a hipótese do contínuo generalizada). []s, N.
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