Fw: [obm-l] Duvida em exponencial

["Ralph Teixeira" <ralph@xxxxxx>]

     Oi, Vicente.

     Que eu saiba, nao existe maneira de resolver essa equacao para n
usando as funcoes aas quais a gente tah acostumado...

     Mas existe uma tal funcao W de Lambert que se define assim:

     LambertW(y)=x quando x.e^x=y

     (note que e^LambertW(y) = y/LambertW(y), por definicao)

     Essa funcao estah bem definida para y>=0; para -1/e<y<0 voce tem
dois possiveis valores de x para cada valor de y, um entre -1 e 0 e o
outro menor que -1. Para y=-1/e, x=-1 eh a unica solucao. Enfim, nao hah
solucao para y<-1/e.

     De qualquer forma, usando esta criatura, dah para resolver x^x=y da
seguinte forma (pelo menos quando y>0):

     x^x=y
     x lnx = lny
     lnx e^(lnx) = lny
     lnx = LambertW(lny)
     x = e^LambertW(lny)
     x = lny/LambertW(lny)

onde na ultima passagem eu usei a propriedade que eu citei lah perto da
definicao.

     Bom, agora nao vejo saida senao ir numericamente. No seu caso:

     x^x=2^1000000
     x = ln(2^1000000)/LambertW(2^1000000)
     x = 1000000 ln2 / LambertW(1000000 ln2)
     Agora ln2~0.6931471806, e LambertW(693147.1806)~11.046852, entao:
     x ~ 693147.1806/11.046852 ~ 62746.12645

     Eu sei que essa resposta nao eh muito satisfatoria (essa funcao
LambertW eh muito esquisita e eu nem conheco nenhuma propriedade legal
dela exceto as citadas acima), mas nao creio que haja nada melhor. Pelo
menos, os numeros envolvidos no calculo numerico sao MUITO menores do
que trabalhar direto com 2^1000000.... :) :) :)

     Abraco,
          Ralph

-----Original Message-----
From: Vicente
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: 1/22/02 12:23 AM
Subject: [obm-l] Duvida em exponencial

Bem, eu tava resolvendo um problema com logaritmos e cheguei no seguinte
resultado:

n^n=2^10^6 (ou 2¹°°°°°°)

Existe algum cálculo utilizado para igualar a base ao expoente???


Obrigado.

Vicente.


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