Re: triângulo

["Ralph Teixeira" <ralph@xxxxxx>]

    Acho que a solução do Ricardo tem um probleminha algébrico (que,
infelizmente, destrói a solução). Tem lá:

>  a^(9^a)=b^a
>  log(a) b^a = 9a --> "log de (b^a) na base a"

    O lado direito tinha de ser 9^a.... e então o resto do raciocínio não
pode ser feito. Eu mantenho a minha conjectura que não sai "algebricamente"
(aliás, eu cheguei a "resolvê-la"... aí descobri que eu tinha errado
álgebra)... Alguma outra idéia?

    Aliás, eu achei que já tinha mandado algo sobre estas questões para a
lista.... Ah, estou vendo aqui, eu acabei mandando um Reply só para o Eder.
Então copio aqui minhas observações do E-mail que só o Eder viu.... :)

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1)No triângulo ABC  C=3A (ângulos),a=27 e c=48.Quanto mede b?

Ideia geral: use a Lei dos Senos para escrever uma equacao envolvendo
sinA e sinC=sin3A (a e c sao conhecidos); desenvolva sin3A em funcao do
sinA e resolva a equacao em sinA. Tendo o sinA (e portanto o cosA) voce
conhece o triangulo todo, em particular conhece B=180-4A; entao use a
Lei dos Senos de novo (agora b/sinB=a/sinA) para matar o problema.

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Detalhes: usando a lei dos senos,

asinC=csinA
27sin3A=48sinA
27(3sinA-4(sinA)^3)=48sinA
sinA=0 ou 81-108(sinA)^2=48

sinA=0 nao presta num triangulo... Entao:

108(sinA)^2=36
(sinA)^2=36/108=1/3
sinA=sqrt(3)/3 (num triangulo, sinA tem de ser positivo)

Tambem, (cosA)^2=2/3 e entao cosA=sqrt(6)/3 (note que A tem de ser agudo
pois C=3A>A).

Bom, entao B=180-4A... Quero o sinB... Vejamos:

sinB=sin4A=2sin2Acos2A
Como sin2A=2sinAcosA=2sqrt(2)/3 e cos2A=2(cosA)^2-1=1/3, temos
sinB=4sqrt(2)/9

Enfim, b=sinB*(a/sinA)=4sqrt(2)/9*27sqrt(3) = 12sqrt(6).

Vale a pena notar que este triangulo existe, jah que 48<27+12sqrt(6)~56.

2) Se (a^b)=(b^a) e b=(9^a),qual o valor de a?

Essa eu nao sei.... Consegui mostrar que nao ha solucao com a=b (de
fato, pode-se mostrar que a=x^a implica x=a^(1/a) e entao x<=e^(1/e)<9).
Mas via graficos, ou numericamente, ve-se que hah uma solucao no outro
"ramo" de a^b-b^a=0, que fica por volta de:

a=1.246882666; b=15.48204923

que nao sei encontrar algebricamente.... se eh que eh possivel. Meu
palpite eh que nao dah nao, mas de repente hah um truque qualquer...

Abraco,
    Ralph