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Re: Historia e Matematica
Ola Prof Jose Paulo,
Estou bastante entusiasmado com a perspectiva de ler a sua tese. Eu tanto
posso lhe passar meu endereco ou marcar algum dia com o Sr no Centro da
Cidade do Rio de Janeiro. Como lhe for melhor. Se poder ser apos o Carnaval,
melhor ainda, pois estarei de ferias e ficarei com tempo disponivel.
A sua tese, a principio, me parece encerrar uma ideia muito interessante ...
Pois a Analise tradicional que estudamos e alicercada nos numeros reais, que
sao arquimedianos, vale dizer, se A e B sao dois numeros reais com A < B
existe um natural N tal que A*N > B.
Arquimedes precisou enunciar este principio porque ele nao existia nos
Elementos de Euclides e era fundamental para os trabalhos dele em Geometria
Metrica : Justamente para fazer aproximacoes e chegar ao resultado final com
o chamado Metodo da Exaustao. Ele tambem enunciou outros dois : 1 ) que o
segmento envolvido e menor que qualquer segmento envolvente e que 2) uma
area envolvida era menor que qualquer area envolvente.
Dado que seu trabalho mostra como aproximarmos uma funcao mal comportada por
outras funcoes "bem-comportadas" e isto e feito sem o auxilio do Principio
de Arquimedes, muito provalvelmente o Sr deve trabalhar com Espacoes
Metricos mais gerais ...
Quando eu estava pensando no problema 3N+1 me deparei com uma situacao
semelhante ... Eu sabia que estava me "aproximando" de algo semelhante a um
sorvedouro, que e sequencia das potencias de 2, mas esta aproximacao nao era
uma "distancia" no sentido metrico que esta palavra comporta. Assim,
associei a cada curva um peso com o qual eu podia "medir" a "distancia" a
que um determinado numero natural que estava na curva se afastava do
sorvedouro. Exemplo :
Os numeros da forma (4^N - 1)/2 estao "MUITO PROXIMOS" da sequencia das
potencias de dois pois basta UMA aplicacao de 3N+1 para que eles se
convertam em potencia de dois. Qualquer outro numero impar esta MAIS
DISTANTES, pois exige MAIS DE UMA aplicacao de 3N+1 para se converterem em
potencia de dois. Claramente que esta sequencia de pesos implica em um
polinomio que estara associado a cada numero impar. Ora, se algum numero
impar, apos um numero finito de aplicacoes de 3N+1, nao se converter em uma
potencia de dois, entao teremos um polinomio infinito e isto esta em
desacordo com a Metrica que o corpo de polinomios implica. Mas, se todos os
numeros impares se transformam em potencias de dois, os numeros pares
tambem, pois apos uma aplicacao de 3N+1 caimos num par, assim, todos os
numeros se convertem em potencias de dois.
A figura que implica tal ideia e muito interessante e, provavelmente, e um
atrator. E eu precisaria de um computador poderoso para desenha-la. Sera que
os numeros naturais tem um unico atrator ? Ou sera podemos encontrar duas
outras funcoes que implicam num sorvedouro para outro lugar ? Tipo :
G(n)= a*n + b se N e congruo a 1 modulo 3
G(n)= c*n + d se n e congruo a 2 modulo 3
G(n)= e*n + f se n e congruo a 0 modulo 3
Mostre que para todo N natural existe P tal que G^P(n)=Q, para algum Q
natural.
Sera que esta quantidade finita de "atratores discretos" nao implicam em
algo tambem finito no dominio continuo da analise ? Nao sei, mas que e
empolgante e. O certo e que pode ser que a sua Tese seja a roupagem com que
se possa dar forma a estes resultados ...
Um Grande abraco pro Sr
Paulo Santa Rita
6,1312,110102
>From: "Jose Paulo Carneiro" <jpqc@uninet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Historia e Matematica
>Date: Fri, 11 Jan 2002 10:02:50 -0200
>
>Caro Paulo.
>
>Nao, nao tenho uma homepage.
>
>Minha tese (ja la se vao mais de vinte anos) chama-se "Aproximacao
>ponderada
>nao-arquimediana".
>
>Em resumo:
>Aproximacao = aproximar funcoes ruins por funcoes boas (por exemplos,
>continuas por polinomios), uma historia que comeca com Weierstrass.
>Ponderada = a aproximacao eh feita com pesos (Bernstein introduziu isto).
>Nao-arquimediana = os corpos de numeros usados nao sao nem os reais nem os
>complexos, nem nada parecidos. Sao nao-arquimedianos (como os dos numeros
>p-adicos). Por exemplo, o conjunto de todos os 1+...+1 (onde 1 eh o neutro
>da multiplicacao) eh limitado superiormente.
>
>Os resultados da tese sao generalizacoes de resultados de L.Nachbin para
>outros contextos mais "normais" (Os matematicos operarios quase sempre
>generalizam ou aplicam o que os matematicos geniais bolaram como
>pioneiros).
>
>Posso mandar um exemplar para voce, se voce me der um endereco ou se
>combinarmos um lugar onde eu possa deixar.
>
>Existe um artigo de autoria de Lawrence Narici e E. Beckenstein (autores de
>um celebre livro de Analise Funcional, junto com o Bachman) na revista
>American Mathematical Monthly, Vol.88, No 9, de 1981, chamado: "Strange
>Terrain - Non Archimedean Spaces", onde ele explica de que trata a Analise
>N.A. e faz um historico da pesquisa no assunto. Ele cita a minha tese; por
>isto, quando li esse artigo, na epoca, fiquei contente em ver que alguem
>alem da minha banca e dos meus amigos, tinha lido meu trabalho sobre este
>"estranho" assunto.
>
>Ha tambem um professor da UFF, o Prof. Dinamerico Pombo, que foi meu aluno
>na UFRJ e tem varios trabalhos nessa area.
>Abracos.
>JP
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, January 10, 2002 4:55 PM
>Subject: Re: Historia e Matematica
>
>
>Ola Prof Jose Paulo,
>
>Obrigado pelo elogio. Eu ja sou timido por natureza, com as suas palavras
>to
>vermelho ate agora ... Mas tambem to imensamente curioso em ler a sua tese.
>O Sr nao tem uma Home Page onde ela esta publicada para que possamos
>estuda-la e le-la, assim como faz o Prof Nicolau com alguns trabalhos dele
>?
>
>Confesso que a cada dia cresce a minha admiracao pelos matematicos Russos.
>Eles tem uma especie de "Realismo Fantastico", buscando na praxis o
>fundamento dos conceitos mais abstratos. E esse tal de Kolmogorov e bom
>mesmo. Justamente agora estou estudando a axiomatizacao que ele fez na
>Teoria das Probabilidades.
>
>Um grande abraco pro Sr
>Paulo Santa Rita
>5,1453,100102
>
> >From: "Jose Paulo Carneiro" <jpqc@uninet.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: Historia e Matematica
> >Date: Thu, 10 Jan 2002 14:34:16 -0200
> >
> >Paulo, a sua resposta so demonstra, mais uma vez, a sua grandeza de
> >carater.
> >
> >Quanto ao dedo do pe da miss, nao se preocupe:
> >Sou fan absoluto do Kolmogorov, que alias esteve no Brasil, na decada de
>70
> >(creio), quando eu era professor da ENCE. Seu livro de Analise
>(Introducao
> >a
> >Analise Real) eh o meu livro de cabeceira para integracao, e ele eh
> >praticamente o criador do conceito de Probabilidade que se usa ateh hoje,
> >como uma funcao definida num espaco de medida, com certas propriedades,
> >etc.
> >A compactificacao de Alexandroff eh usada na minha tese de doutorado, que
> >generaliza um problema do russo S.Bernstein, usando resultados de
>Kakutani,
> >Kaplansky, e outros russos (alem de muitos nao russos, como Weierstrass,
> >Dieudonne e o brasileiro Leopoldo Nachbin).
> >Um abraco.
> >JP
> >
> >
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Thursday, January 10, 2002 3:17 PM
> >Subject: Re: Historia e Matematica
> >
> >
> >Ola Pessoal,
> >
> >E verdade, o Prof Jose Paulo esta coberto de razao. Eu errei. Nao ha
> >"Teorema Russo" : ha TEOREMA, pois a Matematica e Universal e os seus
> >resultados, qualquer que seja a nacionalidade do autor, sao patrimonio de
> >toda a humanidade. Mas e igualmente verdade que se num concurso de beleza
> >nos fixarmos nossa atencao no dedo do pe da miss ele nao sera tao bonito
> >...
> >
> >Um abraco
> >Paulo Santa Rita
> >5,1314,100102
> >
> > >From: "Jose Paulo Carneiro" <jpqc@uninet.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: "OBM-Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Subject: Re: Historia e Matematica
> > >Date: Wed, 9 Jan 2002 21:34:51 -0200
> > >
> > >Achei curiosa esta expressao "Teorema Russo".
> > >Ja imaginou se a moda pega?
> > >Teorema americano, teorema ingles, teorema indiano (olha o Ramanujan
> >ahi),
> > >teorema frances, teorema brasileiro (eu tambem tenho um), ...
> > >Poupem-me...
> > >JP
> > >
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Wednesday, January 09, 2002 6:42 PM
> > >Subject: Historia e Matematica
> > >
> > >
> > >Ola Pessoal,
> > >
> > >Ja que falamos anteriormente sobre uma Excelente Antologia de
> > >Logica-Matematica, peco licenca para sugerir uma outra Antologia,
> > >igualmente
> > >excelente e que trata da HISTORIA DOS METODOS MATEMATICOS, isto e, um
> >livro
> > >didatico com forte enfoque historico.
> > >
> > >Ela consiste de trabalhos dos MAIORES MATEMATICOS RUSSOS de todos os
> > >tempos. Existe uma traducao para o Espanhol, que e um idioma que todos
>os
> > >brasileiros leem e e a que vou apresentar :
> > >
> > >SAO TRES VOLUMES:
> > >
> > >TITULO
> > >La Matematica :
> > >su contenido, metodos y significado
> > >
> > >AUTORES
> > >Kolmogorov, Aleksandrov, Liapunov, Laurientiev y otros
> > >
> > >EDITORA
> > >Alianza Universidad Editorial
> > >Calle Milan, 38 - Madrid
> > >
> > >ISBN : 84-206-2993-6
> > >
> > >So para aticar o interesse de voces :
> > >
> > >Seja dy=( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C )dx. Que condicao devem satisfazer A,
>B
> >e
> > >C para que possamos exprimir a integral de "dy" como combinacao de
> >funcoes
> > >elementares, sejam elas algebricas ou transcendentes ?
> > >
> > >Se voce nao conhecer a resposta a esta pergunta ( que e um Teorema
>Russo
> >)
> > >pode ser que fique tentando, tal como um *Sisifo, encontrar a integral
> >...
> > >E
> > >e muito comum cairmos num Binomio Diferencial assim ... Aqui mesmo na
> >Lista
> > >ja propuserao problemas que recaem nele.
> > >
> > >A resposta a pergunta que fiz e o
> > >
> > >TEOREMA DE CHEBYSHEV : So e possivel encontrar uma funcao cuja derivada
> > >seja
> > >( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C se :
> > >
> > >1) C e um inteiro
> > >2) (A+1)/B e um inteiro
> > >3) (A+1)/B + C e um inteiro
> > >
> > >Para cada um dos casos acima Chebyshev mostra como achar a integral
> >atraves
> > >de uma substituicao inteligente. Mais ainda, Chebyshev mostra que o
> >binomio
> > >acima pode vir de uma tentativa de calculo de area ou de volume por UMA
> > >medida e como usar DUAS MEDIDAS para as coisas serem sempre
>integraveis.
> > >
> > >Assim, conhecer este teorema pode evitar muito trabalho inutil, ou seja
>:
> > >todo braco tem limites ...
> > >
> > >Agora eu pergunto : No livro de calculo da sua estante tem esse teorema
>?
> > >
> > >Um Grande abraco a todos
> > >Paulo Santa Rita
> > >4,1634,090102
> > >
> > >* : SISIFO e um ser mitologico que, por castigo, estava obrigado a
>subir
> >um
> > >Monte muito alto empurrando uma imensa pedra em forma de esfera. Quando
> > >chegava no topo Monte a pedra se soltava e ele era obrigado a subir
> > >novamente, repetindo o sacrificante trabalho ... indefinidamente.
>Diz-se,
> > >portanto, que quando alguem executa repetidamente uma tentativa que com
> > >certeza sabemos que nao sera bem sucedida que e UM TRABALHO DE SISIFO
> > >
> > >Acento agudo no primeiro i )
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