Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel

[Andre S <andreluiz_sch@xxxxxxxxxxxx>]

O mais interessante do teorema de Gödel, a meu ver, é
que não se restringe apenas à matemática, mas a
qualquer sistema formal de axiomas, como bem lembrou o
Paulo. Já abordando um aspecto mais físico que
matemático, já que foi falado no sonho einsteniano, a
"Teoria do Tudo" realmente passou a ser um sonho
limitado pela incompletude dos sistemas formais e pela
teoria da incerteza...
Infelizmente, nunca me deparei com nenhum exemplo
compreensível para o 2o. grau do teorema de Gödel.
Alguém conhece algum?
André






 --- Carlos Maçaranduba <soh_lamento@yahoo.com.br>
escreveu: > vc disse sobre as propriedades do sistema
formal e
> sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
> antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
> Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
> uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
> demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
> memorizou o resultado??Vc está entendendo o que
> quero
> dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
> ,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.
>  
> 
> 
> --- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
> Ola Rogerio e demais
> > colegas desta lista,
> > 
> > E importante que se compreenda corretamente o que
> e
> > um SISTEMA FORMAL e o 
> > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
> > sistema. Estes sistemas tem, 
> > a grosso modo :
> > 
> > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
> > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
> > postulados )
> > 
> > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS
> NENHUMA
> > PROPRIEDADE DITADA POR 
> > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
> > TENHAMOS DELES. Tudo que 
> > se falar sobre os objetos deve ser uma
> consequencia
> > logica dos axiomas e dos 
> > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
> > construir novos objetos em 
> > estrita obediencia as regras de construcao.
> > 
> > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
> > possivel provar uma afirmacao e 
> > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu
> provar
> > que "A e B" eu nao 
> > poderei provar que "A e nao B"
> > 
> > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
> > afirmacoes sobre os objetos puder 
> > ser provada com os recursos de inferencia do
> proprio
> > sistema, isto e, nao 
> > pode haver uma propriedade usufruida por alguns
> > objetos do sistema que seja 
> > indemonstravel com os recursos de inferencia do
> > sistema.
> > 
> > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
> > dos objetivos perseguidos 
> > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
> > ele ja esta 
> > suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
> > 
> > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
> > conceitos acima, de 
> > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
> > qualquer sistema formal 
> > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
> > 
> > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
> > afirmacao sobre os objetos 
> > do sistema puderem ser demonstradas com os
> recursos
> > de inferencia do 
> > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
> > nos seremos capazes de 
> > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
> > lado, o sistema formal 
> > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer
> de
> > provarmos um teorema e 
> > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
> > dizer, haverao propriedades 
> > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
> > capazes de provar com os 
> > recursos de inferencia do proprio sistema."
> > 
> > Nao existe Teorema da Completude na Geometria
> > Euclidiana. Nao no sentido de 
> > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou
> que
> > a geometria euclidiana 
> > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas
> a
> > consistencia da Algebra 
> > depende da Aritmetica e a prova da consistencia
> > desta ultima parece muito 
> > dificil de ser conseguida ...
> > 
> > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o
> Teorema
> > de Godel e algo ruim e 
> > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
> > todos os Matematicos 
> > formalistas, que com seus sistemas formais,
> tiravam
> > o sentido intuitivo que 
> > damos aos objetos matematicos, reduzindo a
> > Matematica a um jogo logico sem 
> > graca, sem semantica e sem sentido.
> > 
> > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
> > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao 
> > de um de seus objetos : sao portanto propriedades
> do
> > TODO. Visto por este 
> > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades
> (
> > consistencia, completude 
> > )  que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
> > consideracao das partes 
> > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
> > MERA SOMA DAS PARTES. O 
> > cara formalista pressupoe justamente o contrario.
> > Ele pensa que conhecendo 
> > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
> > indefinidos ) vai poder explicar 
> > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
> > frente dele. E o SONHO 
> > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES
> QUE
> > EXPLICAM TODO O 
> > UNIVERSO.
> > 
> > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO,
> NA
> > SEMANTICA, NO FIM, NA 
> > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA,
> como
> > algo mais que mera 
> > filosofia barata. Se se retirar o sentido das
> > coisas, as coisa perdem o 
> > sentido. Agora, como articular de forma
> consistente
> > e seria este sentido ?
> > 
> > Todos os danos que estamos causando ao mundo
> > natural, que vem ha anos 
> > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
> > de nossa ignorancia com 
> > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O
> ideal
> > seria que nos nos 
> > relacionassemos com a natureza respeitando os seus
> > acontecimentos ou o papel 
> > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
> > linguagem, como sempre, e 
> > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema
> de
> > Godel o primeiro passo 
> > neste sentido.
> > 
> > Um abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1500,141201
> > 
> > 
> > 
> > >From: "Rogerio Fajardo"
> > <rogeriofajardo@hotmail.com>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de
> Godel
> > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
> > >
> > >Olá,
> > >
> > >  O que diz o teorema da completude da geometria
> > euclideana? Alguns livros
> > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
> > parece que diz que todos os
> > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos
> entre
> > si. Mas isso não 
> > >implica
> > >que não existe sentenças independentes na geom.
> > euclideana? E isso não
> > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na
> geometria
> > eu posso expressar a
> > >aritmética)?
> > >
> > >Rogério
> > >
> > >
> >
>
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