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Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
vc disse sobre as propriedades do sistema formal e
sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
memorizou o resultado??Vc está entendendo o que quero
dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.
--- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
Ola Rogerio e demais
> colegas desta lista,
>
> E importante que se compreenda corretamente o que e
> um SISTEMA FORMAL e o
> que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
> sistema. Estes sistemas tem,
> a grosso modo :
>
> 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
> 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
> postulados )
>
> NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA
> PROPRIEDADE DITADA POR
> UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
> TENHAMOS DELES. Tudo que
> se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia
> logica dos axiomas e dos
> teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
> construir novos objetos em
> estrita obediencia as regras de construcao.
>
> 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
> possivel provar uma afirmacao e
> a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar
> que "A e B" eu nao
> poderei provar que "A e nao B"
>
> 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
> afirmacoes sobre os objetos puder
> ser provada com os recursos de inferencia do proprio
> sistema, isto e, nao
> pode haver uma propriedade usufruida por alguns
> objetos do sistema que seja
> indemonstravel com os recursos de inferencia do
> sistema.
>
> Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
> dos objetivos perseguidos
> para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
> ele ja esta
> suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
>
> A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
> conceitos acima, de
> COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
> qualquer sistema formal
> que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
>
> "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
> afirmacao sobre os objetos
> do sistema puderem ser demonstradas com os recursos
> de inferencia do
> sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
> nos seremos capazes de
> provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
> lado, o sistema formal
> for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de
> provarmos um teorema e
> a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
> dizer, haverao propriedades
> validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
> capazes de provar com os
> recursos de inferencia do proprio sistema."
>
> Nao existe Teorema da Completude na Geometria
> Euclidiana. Nao no sentido de
> COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que
> a geometria euclidiana
> seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a
> consistencia da Algebra
> depende da Aritmetica e a prova da consistencia
> desta ultima parece muito
> dificil de ser conseguida ...
>
> Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema
> de Godel e algo ruim e
> negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
> todos os Matematicos
> formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam
> o sentido intuitivo que
> damos aos objetos matematicos, reduzindo a
> Matematica a um jogo logico sem
> graca, sem semantica e sem sentido.
>
> Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
> propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao
> de um de seus objetos : sao portanto propriedades do
> TODO. Visto por este
> angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades (
> consistencia, completude
> ) que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
> consideracao das partes
> que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
> MERA SOMA DAS PARTES. O
> cara formalista pressupoe justamente o contrario.
> Ele pensa que conhecendo
> bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
> indefinidos ) vai poder explicar
> ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
> frente dele. E o SONHO
> EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE
> EXPLICAM TODO O
> UNIVERSO.
>
> Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA
> SEMANTICA, NO FIM, NA
> FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como
> algo mais que mera
> filosofia barata. Se se retirar o sentido das
> coisas, as coisa perdem o
> sentido. Agora, como articular de forma consistente
> e seria este sentido ?
>
> Todos os danos que estamos causando ao mundo
> natural, que vem ha anos
> preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
> de nossa ignorancia com
> respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal
> seria que nos nos
> relacionassemos com a natureza respeitando os seus
> acontecimentos ou o papel
> que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
> linguagem, como sempre, e
> a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de
> Godel o primeiro passo
> neste sentido.
>
> Um abraco
> Paulo Santa Rita
> 6,1500,141201
>
>
>
> >From: "Rogerio Fajardo"
> <rogeriofajardo@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel
> >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
> >
> >Olá,
> >
> > O que diz o teorema da completude da geometria
> euclideana? Alguns livros
> >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
> parece que diz que todos os
> >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre
> si. Mas isso não
> >implica
> >que não existe sentenças independentes na geom.
> euclideana? E isso não
> >contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria
> eu posso expressar a
> >aritmética)?
> >
> >Rogério
> >
> >
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