Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Rogerio e demais
colegas desta lista,

E importante que se compreenda corretamente o que e um SISTEMA FORMAL e o 
que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal sistema. Estes sistemas tem, 
a grosso modo :

1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou postulados )

NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA PROPRIEDADE DITADA POR 
UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE TENHAMOS DELES. Tudo que 
se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia logica dos axiomas e dos 
teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se construir novos objetos em 
estrita obediencia as regras de construcao.

1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for possivel provar uma afirmacao e 
a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar que "A e B" eu nao 
poderei provar que "A e nao B"

2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as afirmacoes sobre os objetos puder 
ser provada com os recursos de inferencia do proprio sistema, isto e, nao 
pode haver uma propriedade usufruida por alguns objetos do sistema que seja 
indemonstravel com os recursos de inferencia do sistema.

Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um dos objetivos perseguidos 
para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando ele ja esta 
suficientemente maduro e ja deu bons resultados.

A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois conceitos acima, de 
COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para qualquer sistema formal 
que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :

"Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda afirmacao sobre os objetos 
do sistema puderem ser demonstradas com os recursos de inferencia do 
sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer, nos seremos capazes de 
provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro lado, o sistema formal 
for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de provarmos um teorema e 
a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale dizer, haverao propriedades 
validas dos objetos do sistema que nos nao seremos capazes de provar com os 
recursos de inferencia do proprio sistema."

Nao existe Teorema da Completude na Geometria Euclidiana. Nao no sentido de 
COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que a geometria euclidiana 
seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a consistencia da Algebra 
depende da Aritmetica e a prova da consistencia desta ultima parece muito 
dificil de ser conseguida ...

Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema de Godel e algo ruim e 
negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de todos os Matematicos 
formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam o sentido intuitivo que 
damos aos objetos matematicos, reduzindo a Matematica a um jogo logico sem 
graca, sem semantica e sem sentido.

Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao 
de um de seus objetos : sao portanto propriedades do TODO. Visto por este 
angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades ( consistencia, completude 
)  que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera consideracao das partes 
que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A MERA SOMA DAS PARTES. O 
cara formalista pressupoe justamente o contrario. Ele pensa que conhecendo 
bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos indefinidos ) vai poder explicar 
( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na frente dele. E o SONHO 
EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE EXPLICAM TODO O 
UNIVERSO.

Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA SEMANTICA, NO FIM, NA 
FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como algo mais que mera 
filosofia barata. Se se retirar o sentido das coisas, as coisa perdem o 
sentido. Agora, como articular de forma consistente e seria este sentido ?

Todos os danos que estamos causando ao mundo natural, que vem ha anos 
preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam de nossa ignorancia com 
respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal seria que nos nos 
relacionassemos com a natureza respeitando os seus acontecimentos ou o papel 
que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta linguagem, como sempre, e 
a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de Godel o primeiro passo 
neste sentido.

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,1500,141201



>From: "Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
>
>Olá,
>
>  O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros
>chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os
>modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não 
>implica
>que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não
>contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a
>aritmética)?
>
>Rogério
>
>
>_________________________________________________________________
>Join the world’s largest e-mail service with MSN Hotmail.
>http://www.hotmail.com
>


sta

_________________________________________________________________
O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: 
http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx