Re: limites - so na geometria e teorema do confronto

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Vejo que, de fato, nao fui bem claro.
A questao eh a seguinte:
O caminho usual do ensino medio (e ateh dos cursos de graduacao) eh
1) Deduzir que lim senx / x = 1 quando x tende a 0, por um argumento do tipo
deste abaixo, do Eduardo.
Este argumento eh usado (acertadamente) porque a nossa definicao usual de
seno, no ensino medio, eh uma definicao "visual": dado um numero real x,
marca-se este ponto na reta numerica; "enrola-se" esta reta no circulo
unitario, de modo que o 0 da reta coincida com ponto (1;0) do circulo, e o
pi da reta coincida com o ponto (-1;0). Feito isto, o ponto x da reta vai
coincidir com um certo (a;b); entao cos x=a  e  sen x=b.
Naturalmente, com este tipo de definicao, so podemos usar argumentos
geometrico-visuais.
(Ja sei que alguem vai falar em seno de angulo, em "medidas" de angulo em
unidades "babilonicas" , etc. Tudo isto eh redutivel a definicao apresentada
acima.)

2) A partir dahi, deduz-se a derivada do seno (nao estava me referindo so a
derivada em x=0):
[sen(x+h)-sen x ]/h = 2 sen(h/2) cos(x+ h/2) /h -> cos x (quando h->0),
porque admite-se que a funcao cosseno eh continua em x (em geral chutado ou
esquecido), e que sen(h/2)/(h/2) tende a 0, pela deducao anterior.

3) Agora posso aplicar L'Hopital quando for valido e quando envolver seno.

4) Em particular, utilizando a  formula de Taylor (ou melhor, o Teorema de
Taylor), pode-se deduzir a serie de potencias usual para seno.

Claro que existem outros caminhos.

Um deles eh definir seno por serie de potencias. Lembro que, neste caso,
temos que esquecer a definicao do ensino medio de seno, temos que redefinir
pi, em seguida manter a respiracao presa ateh que, por uma serie de
argumentos posteriores, se mostre que tudo isto equivale a definicao
tradicional, para ser digno de ser chamado de seno.

Outro caminho eh por integral. Pode-se por exemplo, partir da integral de 1
sobre raiz de 1-t^2 entre 0 e x, depois tomar a inversa, estender por
periodicidade, etc. (isto eh feito no livro de calculo do Spivak). Ou entao,
partir da integral de 1/ 1+t^2, e comecar pela tangente (isto eh um
exercicio do livro de calculo do Kitchen).

Outro caminho ainda eh por equacoes diferenciais de segunda ordem.
Definem-se duas funcoes c e s como as solucoes dos problemas y"+y=0 com
y(0)=1, y'(0)=0 e  y"+y=0 com y(0)=0, y'(0)=1 (naturalmente, usando teoremas
de existencia de solucoes para estes problemas), e dai por diante (isto tem
em variuos livros de Eq.Dif.).

A todas estas solucoes alternativas aplica-se o que disse sobre a primeira:
tem que esquecer a definicao classica, e comecar tudo de novo. Alias, sao
exercicioos muito interessantes.

Resumindo, eu estava me referindo ao caminho usual. Com a definicao
(correta) usual de seno no ensino medio (veja Matematica do Ensino Medio, de
Elon, Morgado, Wagner, Paulo Cezar), para saber que a derivada de seno eh
cosseno, preciso saber antes que lim sen x / x =1, quando x tende a 0.
JP
Post-Scriptum: eu nao disse que so uso o que demonstro. Eu disse que so
gosto de usar o que eu demonstro. As vezes sou obrigado a fazer o que eu nao
gosto, como, por exemplo, usar o teorema de Stokes.
JP


----- Original Message -----
From: Eduardo Azevedo <eduardo_az@bridge.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, December 11, 2001 3:08 AM
Subject: Re: limites - so na geometria e teorema do confronto


Da pra fazer esse limite, (sen x)/x, com x tende a zero so com geometria e o
teorema do confronto.

Fazendo a figura, em um ângulo pequeno, você vê que:

sen x <= x <= tg x

logo, dividindo tudo por sen x:

1 <= x/senx <= sec x


lim 1 <= lim(x/sen x) <= lim(sec x)

1 <= lim(x/sen x)  <= 1

logo

lim(x/sen x) =1





----- Original Message -----
From: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, December 11, 2001 1:01 AM
Subject: Re: limites


> From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> > Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de
> > calcular o limite de sen(x)/x, qd x ->0. Acho que basta usar a série
para
> > sen(x) :
> > sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - .... )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -....
que
> > para x ->0, vai pra 1.
> > Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas
> não
> > deixa de "não usar l`hôspital".
>
> Periga eu dizer besteiras.
> Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para
> definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e
> esclarecer o que significa a soma infinita.
> Um jeito eh:
> (a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n->infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n)
>
> Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce
> poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a
> ordem das funcoes.
>
> Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x->0) (sen(x)/x)
> utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de
> sen(x) no ponto x=0. Por definicao:
>
> sen ' (0) = lim(h->0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h->0) (sen(h)/h)
>
> Ou seja, voce ja precisa saber calcular o limite lim(x->0) (sen(x)/x) para
> calcula-lo pela regra de L'Hopital.
>
> Para saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) voce precisa saber que a
> derivada de sen(x) no ponto x=0 é igual a cos(0)=1, o que, por definicao,
> quer dizer que lim(h->0) (sen(h)/h) = 1. Ou seja, se voce usa a definicao
> usual de derivada nao eh possivel saber que a derivada de sen(x) eh cos(x)
> sem saber que  lim(x->0) (sen(x)/x). Entao a pergunta do Jose Paulo foi so
> retorica.
>
>
> >
> > Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas
também
> > não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia
usar
> > relógio :)) brincadeira !
> > Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim...
> > A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite
> f(x)/g(x)
> > ( com x tendendo a "a" ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite
é
> > igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x ->a .
>
> So um detalhe.
> Se o lim f(x)/g(x) eh indeterminado (nao existir), voce nao pode usar a
> regra de L´Hopital.
> Se o lim f(x)/g(x) for determinado (existir) e lim f(x) = 0 e lim g(x) =
0,
> aí vale a igualdade lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) pelo motivo que voce
> deu.
>
> Eduardo.
>
> > Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] =
> > lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim
> > [(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x).
> >
> > É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos
> dividir
> > por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a,
logo
> > x-a é diferente de zero.
> > JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90%
> das
> > pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a
> demonstração
> > da regra acima... isso não deveria ser assim... mas...
> >
> >
> > Abraços,
> >      Villard
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33
> > Assunto: Re: limites
> >
> >
> > >cotg ^(1/log)  eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x).
> > >Quando x->0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos
> > >a -infinito.
> > >vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh
> > >(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x -> 1.
> > >Logo o limite eh: 1/e
> > >(se nao houver erro de conta)
> > >
> > >Quanto ao segundo, uma variante, para variar:
> > >a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.
> > >Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h-> 0.
> > >Substituindo h por 2x (por que vale?):
> > >e^(2x)-1 / 2x tende a 1.
> > >Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.
> > >
> > >[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:
> > >1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao
de
> > >derivada. exemplo:
> > >sen x / x  quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas
> como
> > >voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x
> > tende
> > >a 1? alguem conhece um jeito?
> > >2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que
> algum
> > >dia demonstrei.
> > >Ih, ja sei que vai dar polemica...]
> > >
> > >JP
> > >
> > >
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM
> > >Subject: Re: limites
> > >
> > >
> > >confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana
> > >e quanto à primeira vcs encontraram algo?
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: "Vinicius José Fortuna" <ra992559@ic.unicamp.br>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM
> > >Subject: Re: limites
> > >
> > >
> > >On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> > >
> > >> qual o limite das seguintes funções?
> > >>
> > >> lim (cotgx)^(1/lnx)
> > >> x-> 0
> > >>
> > >>
> > >> lim (e^2x -1)/x
> > >> x->0
> > >
> > >Essa eu acho que sei:
> > >
> > >lim{x->0} (e^2x - 1)/x =
> > >lim{x->0} (e^2x)/x - 1/x =
> > >lim{x->0} (e^2x)/x
> > >Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
> > >= lim{x->0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
> > >= 2
> > >
> > >Confere?
> > >
> > >Até mais
> > >
> > >Vinciius
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> >
>