Re: Axioma da Escolha

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Duda e demais
Colegas desta Lista,



O AXIOMA DA ESCOLHA  e um dos axiomas de uma das axiomatizacoes da TEORIA 
DOS CONJUNTOS. No livro do Prof Paul Halmos, TEORIA INGENUA DOS CONJUNTOS, 
ele e tratado com mais detalhes. Este livro tem uma traducao para o 
Portugues.

O AXIOMA DA ESCOLHA, a grosso modo,  afirma que DE TODA FAMILIA DE CONJUNTOS 
NAO VAZIOS E POSSIVEL CONSTRUIR UM CONJUNTO QUE CONTENHA UM ELEMENTO DE CADA 
ELEMENTO DA FAMILIA. Este axioma tem consequencias notaveis, 	 como as duas 
que voce enunciou - que voce pode ver no livro de Algebra linear do 
Kunze-Hoffman e no Algebra do Birkhof-Maclane - mas tem tambem implicacoes 
inverossimeis.

Note que no enunciado do axioma nada se fala sobre a FUNCAO DE ECOLHA ... de 
cada conjunto da familia nos ESCOLHEMOS um elemento e colocamos uma copia 
dele no conjunto que estamos construindo. A regra para elegermos o elemento 
a ser copiado e, a principio, livre. E esta liberalidade que permite a 
imaginacao humana definir estranhas funcoes de escolha que implicam na 
construcao de estranhos resultados ....

Tarski, por exemplo, mostrou que usando o AXIOMA DA ESCOLHA, em tese e 
possivel dividir uma esfera macica em ao menos cinco partes de forma que ao 
unir posteriormente estas partes redundara nao em uma, mas em duas esferas 
identicas a original ... !!! Inverossimil ? Mas, em tese, e possivel efetuar 
uma tal operacao !

O que parece pouco crivel no exemplo acima e que uma tal operacao estaria 
derrogando explicitamente o principio da conservacao massa-energia, pois 
teriamos uma duplicacao de massa sem o esperado desaparecimento da 
quantidade de energia de repouso : E=M*(C^2). E digno de nota, todavia, que 
ja hoje se fala de sistemas abertos ( Equacao de Beluzonov ) nos quais estes 
principios de simetria nao sao obedecidos e que conduzem os sistemas a 
outras configuracoes, mais organizadas ...

O que e certo e que o AXIOMA DA ESCOLHA, dado as suas implicacoes pouco 
aceitaveis, sempre foi olhado e tratado com forte suspeicao, muitos 
matematicos achando que uma demonstracao que nao usasse o dito axioma era 
melhor que outra que o usasse. Seria este axioma o responsavel pelas 
inconsistencias da TEORIA DOS CONJUNTOS ?

Aqui, mais uma vez, entrou em cena o ALTER-EGO dos Matematicos formalistas 
do seculo XX : Godel e sua Turma. Se chamarmos de classica a TEORIA DOS 
CONJUNTOS que aceita e usa o AXIOMA DA ESCOLHA, Godel mostrou que se a 
Teoria dos Conjuntos Classica for inconsistente, a teoria nao-classica, que 
nao usa ou aceita o AXIOMA DA  ESCOLHA, tambem sera inconsistente. Isto e, 
Godel mostrou que  o axioma da escolha nao pode ser responsabilizado por 
possiveis inconssitencias que porventura venhamos a descobrir na teoria dos 
conjuntos.

Este resultado de Godel, bem como a sua solucao para as equacoes da teoria 
da relatividade geral ( que implicam num horizonte de eventos onde se 
alternam locais nos quais o principio da  causalidade ora vale, ora nao vale 
), nao e tao famoso quanto os resultados relativos a inconsistencia da 
Aritmetica, mas nao deixam de ser fundamentais, conforme vimos.

Ate parece que Godel veio ao mundo para falar uma unica coisa ... parece que 
ele veio dizer que em qualquer sistema axiomatico, AS REGRAS sao tao ou mais 
importantes que os AXIOMAS e os OBJETOS INDEFINDOS, que o TODO E MAIS QUE  
MERAMENTE A SOMA DAS PARTES, 	QUE A COMPREENSAO REDUCIONISTA E ANALITICA 
PRECISA MUDAR !

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1644,101101

>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Axioma da Escolha
>Date: Fri, 7 Dec 2001 02:52:23 -0200
>
>Ola!
>
>Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca "papapá segue do axioma 
>da
>escolha". O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia
>imediata? Por exemplo, cito duas frases:
>
>1 - "Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base"
>2 - "Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem"
>
>Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar
>uma ideia de o que eu devo entender por essas frases?
>
>Obrigado!
>Eduardo.
>


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