Re: limites

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de
calcular o limite de sen(x)/x, qd x ->0. Acho que basta usar a série para
sen(x) :
sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - .... )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -.... que
para x ->0, vai pra 1.
Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas não
deixa de "não usar l`hôspital".

Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também
não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar
relógio :)) brincadeira !
Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim...
A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite f(x)/g(x)
( com x tendendo a "a" ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é
igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x ->a .
Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] =
lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim
[(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x).

É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos dividir
por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo
x-a é diferente de zero.
JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90% das
pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a demonstração
da regra acima... isso não deveria ser assim... mas...


Abraços,
     Villard

-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33
Assunto: Re: limites


>cotg ^(1/log)  eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x).
>Quando x->0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos
>a -infinito.
>vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh
>(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x -> 1.
>Logo o limite eh: 1/e
>(se nao houver erro de conta)
>
>Quanto ao segundo, uma variante, para variar:
>a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.
>Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h-> 0.
>Substituindo h por 2x (por que vale?):
>e^(2x)-1 / 2x tende a 1.
>Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.
>
>[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:
>1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de
>derivada. exemplo:
>sen x / x  quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas como
>voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x
tende
>a 1? alguem conhece um jeito?
>2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algum
>dia demonstrei.
>Ih, ja sei que vai dar polemica...]
>
>JP
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM
>Subject: Re: limites
>
>
>confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana
>e quanto à primeira vcs encontraram algo?
>
>----- Original Message -----
>From: "Vinicius José Fortuna" <ra992559@ic.unicamp.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM
>Subject: Re: limites
>
>
>On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
>
>> qual o limite das seguintes funções?
>>
>> lim (cotgx)^(1/lnx)
>> x-> 0
>>
>>
>> lim (e^2x -1)/x
>> x->0
>
>Essa eu acho que sei:
>
>lim{x->0} (e^2x - 1)/x =
>lim{x->0} (e^2x)/x - 1/x =
>lim{x->0} (e^2x)/x
>Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
>= lim{x->0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
>= 2
>
>Confere?
>
>Até mais
>
>Vinciius
>
>
>
>
>
>