Re: Re: Teoria dos números

[Augusto César Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

LINDA1

Bruno F. C. Leite wrote:

> At 16:17 09/12/01 -0200, you wrote:
>
>> At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote:
>>
>>>   Olá colegas,
>>>   obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, 
>>> onde encontro a RPM 26 ?
>>>   Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei 
>>> resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há 
>>> outra resolução.
>>>   Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para 
>>> todo K inteiro.
>>>   Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se 
>>> usa o pequeno teorema).
>>>   Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME 
>>> queria cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ?
>>>   Obrigado pela atenção,
>>>      Raul
>>
>>
>> Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par 
>> sempre. Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida  k por 
>> 5. teremos k=5a+b com 0<=b<=4. Então 
>> k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as contas e testando os 5 
>> valores possiveis para b, temos que k^5-k é múltiplo de 5. (há várias 
>> outras maneiras de fazer isso sem usar teorema de Fermat)
>>
>> Bruno Leite
>
>
>
> pensei em outra maneira de resolver isto. Temos que k(k^4-1) é 
> múltiplo de 5 se e só se k(k^4-5k^2+4) é multiplo de 5. mas 
> k(k^4-5k^2+4)=k(k^2-1)(k^2-4)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2), e o produto de 5 
> números consecutivos é múltipo de 5!
>
> Bruno Leite
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