Re: Teoria dos números

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote:
>   Olá colegas,
>   obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde 
> encontro a RPM 26 ?
>   Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei 
> resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há 
> outra resolução.
>   Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo 
> K inteiro.
>   Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o 
> pequeno teorema).
>   Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria 
> cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ?
>   Obrigado pela atenção,
>      Raul

Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par sempre. 
Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida  k por 5. teremos 
k=5a+b com 0<=b<=4. Então k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as 
contas e testando os 5 valores possiveis para b, temos que k^5-k é múltiplo 
de 5. (há várias outras maneiras de fazer isso sem usar teorema de Fermat)

Bruno Leite