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Sauda,c~oes tri...,
Obrigado Morgado. Tudo isso está explicado num
livro
(Manual de Seq. e Séries) que escrevi cuja
amostra
Um outro exemplo da força do método: seja
calcular
S_n(m) = \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}, onde \binom{i}{m} = i!/m!
(i-m)!
Então p(i)=\binom{i}{m} e P(i)=\binom{i}{m+1}. Pra
entender
por que, aplique Stiffel (o nome é esse,
não é?).
Portanto, S_n(m) = P(n+1) - P(0) =
\binom{n+1}{m+1}.
Agora o melhor: somas com p(i)=i, p(i)=i^2 etc para
i=1,..n
saem agora facilmente.
Como p(i)=i=\binom{i}{1}, então
S_n=\binom{n+1}{2}=n(n+1)/2.
Como p(i)=i^2=2\binom{i}{2} + \binom{i}{1}, então
S_n =2\binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} =
n(n+1)(2n+1)/6.
[]'s
Luis
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 18:01
Assunto: Re: Como simplificar?
Se f(x+1)-f(x)=g(x), g é a diferença de f; f é a antidiferença
de g.
Antidiferença serve para somar. Realmente , representando por S
somatório com k variando de 1 ate n, temos
S(g(k))=
g(1)+g(2)+...+g(n)=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1).
Logo,
para somar valores de g, basta descobrir uma antidiferença de
g.
Potência fatorial é uma "espécie" de potência. x elevado a n é um
produto de n fatores iguais a x. A potência fatorial x baixado a n (usualmente
escreve-se o x entre parenteses e o n fora do parenteses como um indice) é um
produto de n fatores
x(x-1)...(x-n+1).
A diferença de x baixado a n é [n
vezes(x baixado a n-1)] e a antidiferença de x baixado a n é [(x baixado a
n+1) dividido por n+1].
Vinicius José Fortuna wrote:
Pine.GSO.4.10.10112051702090.14827-100000@iguacu.dcc.unicamp.br"
type="cite">O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?
Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?
Obrigado
[ Vinicius José Fortuna ]
On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,
Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outra
podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:
Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômio
de grau k em i.
Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamos
uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).
Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.
Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.
Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 =
(n/6) * (4n^2 + 15n + 17)
[]'s
Luís
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