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Sauda,c~oes tri...,
Estas duas somas que apareceram uma em seguida à
outra
podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte
forma:
Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um
polinômio
de grau k em i.
Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e
achamos
uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) -
P(1).
Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 +
... + (n+1)*(2n+1) =
\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i
+ 1.
Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3)
(i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.
Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2)
(n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 =
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
[]'s
Luís
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 11:40
Assunto: Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
2*4 - 2 + 3*6 - 3 + 4*8 - 4 + 5*10 - 5 + 6*12 - 6 +
... + (n+1)*(2n+2) - (n+1) =
2*4 + 3*6 + 4*8 + 5*10 + 6*12 + ... + (n+1)*(2n+2) -
(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 +
... + (n+1)) =
2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 - (2 + 3 +
4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 - ((n+3)n)/2 =
(n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 =
(4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 =
(4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 =
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 10:44 Terezan
Assunto: Como simplificar?
Caros amigos, como
faço para simplificar a expressão abaixo?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1)
Davidson
Estanislau
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