Re: somatorio

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

Gustavo Nunes Martins wrote:
> 
> Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com
> o numero n1 e acaba com o numero nx e
> (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser
> econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm.
> 

	Aliás, esse é o único jeito q conheço de DEDUZIR esta fórmula. Até é
possível PROVÁ-LA com indução, mas deduzir acho q só assim mesmo....

> Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia
> n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ?

	Hum... Vc está querendo somar vários quadrados perfeitos consecutivos a
partir de um n^2 qualquer, certo? Pois bem, vamos passo a passo pq já
são passa das duas e meus neurônios foram dormir :-)

n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... + (n+k)^2 =
n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) + (n^2+6n+9) + ... + (n^2+2kn+k^2) =

	Olhando com carinho, vemos um total de k+1 termos "n^2". Note também
que ops termos de primeiros grau podem ser arrumados de forma sugestiva
coma a abaixo. Por fim, restam os termos independentes. Vejamos como
fica...

(k+1)n^2 + (2+4+6+...+2k)n + (1+4+9+...k^2)

	Fazendo por partes:
I) (k+1)n^2
É, acho q melhor q isso não fica, hehehe :-)

II)(2+4+6+...+2k)n
é uma PA. Assim, fica
k(k+1)n/2

III)(1+4+9+...k^2)
é a soma de todos os quadrados perfeitos a partir do primeiro (zero ou
um, tanto faz..). Se vc preferir, um caso particular do seu prob.
Observando com cuidado , temos:

4-1=3
9-4=5		5-3=2
16-9=7		7-5=2
25-16=9		9-7=2
.
.
.
	Note que os quadrados não formam a PA q vc conhece, mas a diferença
deles sim. Isso significa q os quadrados pefeitos formam uma "PA de
segunda ordem", pq só na "segunda" vez q calculamos a diferença é q
chegamos a valores iguais. A PA q vc conhece é chamada de "PA de
primeira ordem", porque já na "primeira" vez q calculamos a diferença
chegamos a valores iguais. Podemos ter PAs de qualquer ordem....

	Mas, voltando ao nosso problema, temos q descobrir como somar essa tal
de "PA de segunda ordem". Como já são duas e meia, deixo p/vc tentar um
pouco. Sugiro tentar estabelecer alguma fórmula de recorrência, depois
uma do termo geral e, por fim, a da soma. Vale lembra q essas fórmulas,
na PA, são, respectivamente:
a[n] = a[n-1] + R
a[n] = a[1] + (n-1)R
S[n]=(a[1]+a[n])n/2

OBS: a[n] indica "n-ésimo termo da seqüencia"

	Depois q você souber somar esta PA de segunda ordem basta somar I, II e
III q vc terá seu resultado... Se eu conseguir tempo amanhã eu faço o
resto...

[]'s

Alexandre Tessarollo