Re: OBM-u

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Vc tem I[u] = Int{log[1-2ucosx+u^2]dx}, x=0..Pi
Fazendo a substituicao t = Pi-x e invertendo os integrandos voce obtem
exatamente I[-u].
Quanto a substituicao na outra parte, eu escrevi errado no email mesmo.. Eh
cosseno.
Ai fica: cosx = 2cos^2(x/2) - 1
I[u^2] = Int{log[1-2u^2cosx+u^4]} = Int{log [ (1+u^2)^2 -4u^2cos^2(x/2)] =
Int{log(1+2ucos(x/2)+u^2)]+Int{log(1-2ucos(x/2)+u^2)], integrando de x=0
ateh x=Pi.
Fazendo x=2t nas duas integrais, fica:
(1/2)I(u^2)=Int{log(1+2ucost+u^2)}+Int{log(1-2ucost+u^2)} t=0..Pi/2

Mas fazendo a substituicao x=Pi-t na segunda integral (acho que eh isso), vc
ve que ela eh fica com o mesmo integrando da primeira, soh que com o t indo
de Pi/2 ateh Pi, e portanto a soma das duas eh I[u].

> Uau, muito bonita esta solução! Só não entendi pq I(u) =I(-u).
> (na verdade tb não sei pq vc trocou cosx por [2sen^(x/2) - 1], mas acho
que
> vc quis dizer [2cos^2(x/2) - 1]...)
>
> Bruno
>
>
>