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Uma desigualdade é dita simétrica se ao
trocar de ordem as variáveis a desigualdade não se
altera.
Ex.: a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc.
OBS: É interessante termos uma desigualdade simétrica nas
variáveis, pois podemos supor sem perda de generalidade que elas
estão numa certa ordem. No exemplo que eu dei, vc pode supor a >=b
>=c ( é claro que há 1001 maneiras de provar essa desigualdade
sem isso ).
Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira.
Deixe todas as variáveis de um lado da inequação. Desse
lado tem-se uma função de várias variáveis.
Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc, faça
F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 - ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)>=0, para
quaisquer a,b,c.
Uma função é dita
homogênea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n * f(a,b,c).
A desigualdade acima é então homogênea de grau
2.
Eu acho que o grau não importa muito. O que interessa é se
ela é homogênea ou não.
Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)>=0 se e somente
se F(a,b,c)>=0. Então podemos fazer algumas
normalizações ( fizar a soma das variáveis, fixar uma das
variáveis, etc...).
No exemplo dado, faça a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com
F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 >=0.
Outro exemplo bastante significativo é o problema 2 desta
última IMO. Era uma desigualdade homogênea ( de grau 0, o que
não importa ). Daí, era legal fazer a+b+c=1, o que nos
possibilitava usar a desigualdade de Jensen... e assim vai. A moral da
história é : fique feliz se a desigualdade for simétrica ou
homogênea, pois você ou pode matar o problema direto, ou pode cair
num problema mais fácil. :)
Espero não ter errado alguma definição,
Abraços,
Villard
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