Re: ajuda em um problema e Extra

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

RESPONDENDO o PROBLEMA EXTRA:

Seja sen(2A) = k-x
        sen(2B) = k
         sen(2C) = k+x

tg(A+B) - tg(A+C) = sen(A+B)/cos(A+B) - sen(A+C)/cos(A+C)

= [sen(A+B)cos(A+C) - sen(A+C)cos(A+B)]/cos(A+B)cos(A+C)

= sen(B-C)/cos(A+C)cos(A+B)

Da mesma maneira encontramos:
tg(A+C) - tg(B+C) = sen(A-B)/cos(A+C)cos(B+C)

Entao [tg(A+C) - tg(B+C)] / [tg(A+B) - tg(A+C)] =
= sen(A-B)cos(A+B)/sen(B-C)cos(B+C)

É bem sabido que sen m - sen p = 2 sen[(m-p)/2] cos[(m+p)/2]

Fazendo m=2A, p=2B e q=2C, vem:

sen(A-B)cos(A+B) = (sen2A - sen2B)/2      e
sen(B-C)cos(B+C) = (sen2B - sen2C)/2

Mas sen2A - sen2B = k - x - k = -x         e
         sen2B - sen2C = k - (k+x) = -x

Logo [tg(A+C) - tg(B+C)] / [tg(A+B) - tg(A+C)] = (-x/2)/(-x/2) =1

Daí vem: tg(A+C) - tg(B+C) = tg(A+B) - tg(A+C), o que garante que:

tg(B+C), tg(A+C) e tg(A+B) estao em PA nessa ordem, c.q.d.




----- Original Message -----
From: "Alexandre Tessarollo" <tessa@mail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Terça-feira, 9 de Outubro de 2001 01:03 Terezan
Subject: Re: ajuda em um problema e Extra




> harold wrote:
>
> seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I  ponto
> de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB,
> BC,CDe DA
> são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é
> circunscrítivel a um círculo com centro em I.

Projeções de QUEM sobre os lados? Tentei projetar I e a afirmação
tornou-se falsa (leia-se achei diversos contra-exemplos). Fiz o mesmo
com O e tampouco funcionou... Seja claro e específico, plz.

[]'s

Alexandre Tessarollo

PS: Aproveitando a deixa, passo mais um:

Sabendo que sen 2A, sen 2B e sen 2C estão em PA nessa ordem, demonstrar
que tan (B+C), tan (C+A) e tan (A+B) também estão em PA nessa ordem.