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RES: ajuda em um problema



Solução:
Faz a figura para ficar mais fácil de ver...
Como M, N, P e Q são as projeções e I  sobre  os lados AB, BC, CD, DA temos que:
Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus.
Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: <CBD=<CAD=x (ler angulo BCD...)
<ABD=<ACD=y, <BAD=<BDC=z, <ADB=<BCA=w.
Como:
BMNI é inscritível: <MBI=<MNI=y, <NBI=<NMI=x 
NIPC é inscritível:  <NCI=<NPI=w, <INP=<ICP=y
PIQD é inscritível:  <IPQ=<IDQ=w, <IQP=<IDP=z
MIQA é inscritível:  <QAI=<QMI=x, <MAI=<MQI=x
Daí notamos que no quadrilátero MNQP <QMN=2x, <MNP=2y, <NPQ=2w, <MQP=2z, E MI, NI, PI, QI são bissetrizes desses ângulos, respectivamente. Como todas as bissetrizes de seus ângulos se encontram num ponto (I) esse quadrilátero é circunscritível e I é seu centro, já que ele equidista dos lados...
 
Einstein
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de harold
Enviada em: segunda-feira, 8 de outubro de 2001 22:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: ajuda em um problema

seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I  ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA
são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.