Questao 2 OBM2001 nível 3

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Mudando um pouco o assunto da OBM para outras questões:

Um colega meu resolveu este problema de Geometria usando trigonometria.

Lembrando, ABC é um triângulo onde a altura AH e a mediana AM dividem o
ângulo  em 3 ângulos iguais.

A solução começa provando que os triângulos ABH e AMH são congruentes (assim
como o gabarito oficial) mas não quis aplicar o teorema das Bissetrises
(porque não se lembrou, eu acho)

Continua vendo que tg(CAH) = 3*tg(BAH) (devido à congruência acima e M ser
médio de BC). Daí, ele usa as fórmulas de duplicação para montar uma equação:
tg(CAH) = 2 tg(BAH)/(1 - tg^2(BAH)) = 3 tg(BAH)
Como BAH != 0 (por estar em um triângulo), vem:
2/3 = 1 - tg^2(BAH) => tg^2(BAH) = 1/3 e, como 0 < BAH < pi/3, vem que BAH
= pi/6 (pois tg(pi/6) = raiz(3)/3)

Daí para acabar o problema é igual.

Quantos pontos vale essa solução? Outro amigo meu "empacou" na equação trigonométrica,
pois não tinha estudado as fórmulas de adição. Quantos pontos esse outro
receberia?

Grato pela atenção,
Bernardo




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