Re: Combinatória e Eq. 3 grau

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

At 22:49 24/08/01 -0300, you wrote:
>    Oi.   Bom, vamos chamar de t(n) o  numero de vezes em q mexeram no
>armario n. Mais explicitamente, t(n) é qtos divisores inteiros
>positivos tem  n. É claro q o armário n estará aberto
>ao final sse t(n) for ímpar"" se anulam). Entao só precisamos
>calcular t(n).   Para isso, sendo [(p_1)^k_1]*[(p_2)^k_2]*...[(p_r)^k_r] a 
>fatoracao prima de n, &eacute;<<=k_i. Entao teremos
>[(k_1)+1]*[(k_2)+1]*...*[(k_r)+1]  possibilidades para os divisores de n,
>i.e., t(n) = [(k_1)+1]*[(k_2)+1]*...*[(k_r)+1], onde n = 
>[(p_1)^k_1]*[(p_2)^k_2]*...[(p_r)^k_r].   Logo, como queremos t(n) 
>&iacute;mpar, nenhum dos [(k_i)+1] pode ser par, ou seja, todos tem q ser 
>&iacute;mpares, ou seja, todos os k_i tem de ser pares. Mas ent&atilde;o
>podemos  tomar k_i = 2*q_i, e n = 
>{[(p_1)^q_1]*[(p_2)^q_2]*...[(p_r)^q_r]}^2.   S&oacute;"prov&aacute;"...  
>t+!     

Um outro modo de ver que o numero de divisores de um número é impar sse ele
é quadrado é o seguinte.

Para um número n que não é quadrado, se d é divisor de n, então n/d é
divisor de n. Então os divisores de n vem aos pares! Portanto, o número de
divisores de n será par.

Para um quadrado este argumento não vale pois para o divisor d=raiz(n), o
seu par n/d é a própria raiz(n), ou seja, um único cara não tem par.
Portanto aqui o número de divisores de n será ímpar.

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite

  -----Mensagem original-----
>De:      <iver@infonet.com.br>
>Para:      obm-l@mat.puc-rio.br<obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data:      Sexta-feira, 24 de Agosto de 2001 19:51
>Assunto:      Combinat&oacute;ria e Eq. 3 grau
>
>     Ol&aacute;, a&iacute; vai uma quest&atilde;o que jah      esteve aqui
>na lista mas para a qual eu ainda nao vi uma solu&ccedil;ao...     
>mostrei-a a meu professor e ele chegou &agrave; mesma conclusao que eu
>havia      chegado, no entanto, assim como eu, ele nao conseguiu demonstrar
>a      prov&aacute;"".            1. Em um corredor h&aacute; 900
>arm&aacute;rios, numerados      de 1 a 900, 
>inicialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1      
>a 900, atravessam o corredor. A pessoa de n&uacute;mero k 
>reverte o      estado de todos os arm&aacute;rios cujos n&uacute;meros
>s&acirc;o      
>m&uacute;ltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de n&uacute;mero 4 mexe      
>nos arm&aacute;rios de n&uacute;meros 4, 8, 12,..., abrindo os que      
>encontra fechados e fechando os que encontra abertos. ao 
>final,      quais arm&aacute;rios ficar&atilde;o abertos?
>     serah q algu&eacute;m podia mostrar uma      solu&ccedil;&atilde;o??? 
>         ah, a&iacute; vai uma duvida bem trivial, quais sao as     
>ra&iacute;zes da equa&ccedil;&atilde;o x^3 -4x -1 = 0 ? Como eu fa&ccedil;o
>     para encontr&aacute;-las?           abra&ccedil;os     Hugo
>