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Oi.
Bom, vamos chamar de t(n) o
numero de vezes em q mexeram no armario n. Mais explicitamente, t(n) é qtos divisores inteiros positivos tem
n. É claro q o armário n estará aberto ao final sse t(n) for ímpar (duas
"mexidas" se anulam). Entao só precisamos calcular t(n).
Para isso, sendo [(p_1)^k_1]*[(p_2)^k_2]*...[(p_r)^k_r] a
fatoracao prima de n, é sabido q os divisores de n sao exatamente os
numeros da forma [(p_1)^a_1]*[(p_2)^a_2]*...[(p_r)^a_r], onde os
0<=a_i<=k_i. Entao teremos [(k_1)+1]*[(k_2)+1]*...*[(k_r)+1]
possibilidades para os divisores de n, i.e., t(n) = [(k_1)+1]*[(k_2)+1]*...*[(k_r)+1], onde n =
[(p_1)^k_1]*[(p_2)^k_2]*...[(p_r)^k_r].
Logo, como queremos t(n)
ímpar, nenhum dos [(k_i)+1] pode ser par, ou seja, todos tem q ser
ímpares, ou seja, todos os k_i tem de ser pares. Mas então podemos
tomar k_i = 2*q_i, e n =
{[(p_1)^q_1]*[(p_2)^q_2]*...[(p_r)^q_r]}^2.
Só nao consigo entender em que sentido essa resposta
seria "provável"...
t+!
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