Re: Re: Vamos contar?

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

� verdade... foi s� o detalhe de eu ter escrito que era um real... � que eu
escrevi pensando em outra coisa, mas a id�ia � a mesma...
 Villard
-----Mensagem original-----
De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 16 de Agosto de 2001 03:05
Assunto: Re: Re: Vamos contar?


>Rodrigo, essa demonstraccao nao esta certa. O fato de A nao pertencer a
>Im(U), nao implica que a funccao U nao e' sobrejetiva, por que o conjunto X
>pode nem possuir um numero real! Voce adaptou a sua demonstraccao anterior,
>mas esqueceu que agora voce esta lidando com o conjunto X, e nao com os
>reais. Eu acho que voce quis dizer o seguinte:
>
>Suponha que existe uma bijeccao U: X->P(X). Construimos o conjunto A = {x
>pertence X| x nao pertence a U(x)}.
>
>Como a funccao U e' uma bijeccao, existe um x pertencente a X, tal que U(x)
>= A. Agora usamos a definiccao de A:
>- se x pertence a A, entao x nao pertence a U(x) = A, logo nao pertence a
A,
>absurdo!
>- se x nao pertence a A, entao x pertence a U(x) = A, logo pertence a A,
>novo absurdo!
>
>Ou seja, a suposiccao inicial de que existe uma bijeccao � falsa, e da�
>#P(X) > #X.
>
>Mas a sua id�ia � simples e elegante! Eu nunca havia visto essa
>demonstraccao. Veja como eu demonstrei que existem infinitos "tipos" de
>infinitos.
>
>Seja F(X) = { f: X->X }, ou seja, F(X) � o conjunto de TODAS as fun��es de
X
>em X. Vou mostrar que #F(X) > #X.
>
>� trivial que #F(X) >= X. Temos que mostrar que nao vale a igualdade. Vou
>mostrar que nao existe uma fun��o sobrejetora U: X->F(X) (uma fun��o que
>assuma todos os valores de F(X)).
>
>Suponha que existe essa sobreje��o U: X->P(X). Sejam a e b dois elementos
>distintos de X. Para cada x pertencente a X, U(x) � uma fun��o f_x : X->X.
>Consideremos a fun��o u: X->X, definida por:
>- u(x) = a, se f_x(x) = b
>- u(x) = b, se f_x(x) � diferente de b
>A propriedade da fun��o u � que ela assume um valor diferente de f_x, no
>ponto x. Logo a fun��o u � diferente de todas as fun��es f_x, para qualquer
>x pertencente a X. Segue que U n�o � uma sobreje��o, um absurdo que
>demonstra que #F(X) > #X.
>
>Eduardo Casagrande Stabel.
>
>
>
>From: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>> � verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) > #(X). Vejamos :
>>  � trivial que #(P(X)) >= #(X) ( inclus�o natural ). Basta mostrar que
n�o
>
>> vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista
um
>> bije��o U : X->P(X). Da�, considere o conjunto A = { y real ; y n�o
>pertence
>> a U(y) } ( obviamente A n�o � vazio ). Afirma��o : A n�o pertence a
Im(U).
>> Suponha o contr�rio. Da�, existe t real, tal que U(t) = A.
>>  Se t pertence a A, pela defini��o de A, t n�o pertence a U(t) = A,
>> contradi��o.
>>  Se t n�o pertence a A, t n�o pertence a U(t), logo, pela defini��o de A,
>t
>> pertence a A, contradi��o. Da�, conclui-se que este t n�o existe. Logo, A
>> n�o pertence a Im(U). Com isso, temos que a fun��o U n�o � sobrejetiva,
>> logo, n�o h� bije��o de X em P(X), da� #(P(X)) > #(X).
>>  Abra�os,
>>       �Villard!
>>
>>
>>
>> -----Mensagem original-----
>> De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
>> Assunto: Re: Vamos contar?
>>
>>
>> >On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
>> >> Ol�...
>> >>
>> >> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) N�o sei se
>> >> "coisa" � uma palavra t�o ruim assim, porque infinitos s�o mesmo
>> >> coisas(!) n�o muito bem definidas.  � o seguinte: para contar, por
>> >> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um n�mero
>natural
>> >> a uma das bananas e exatamente �quela banana o mesmo n�mero, certo?
>> >> (Correspond�ncia biun�voca.) Pergunta: quantos n�meros naturais
>existem?
>> >> Infinitos... a gente sempre pode p�r mais um. Oquei... Quantos
>inteiros?
>> >> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
>> >> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? A� n�o � o mesmo: tem
>> >> mais...
>> >
>> >Isto que voc� descreve s�o cardinais infinitos, conforme estudados
>> >inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
>> >existe uma bije��o entre eles; o cardinal de X � menor ou igual ao de Y
>> >se existir uma fun��o injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
>> >se existir uma fun��o sobrejetora de Y para X.
>> >>
>> >> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
>> >> "aleph" com o �ndice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
>> >> disse que � poss�vel demostrar que existem infinitos tipos de
>infinitos!
>> >> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma
>propriedade
>> >> do espa�o funcional.
>> >
>> >Sinto muito contradizer seu professor, mas esta n�o � a nota��o usual.
>> >Aleph_0 � sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 � por defini��o
>> >o cardinal seguinte. A hip�tese do cont�nuo diz que o cardinal de R
>> >� Aleph_1; a hip�tese do cont�nuo � independente dos axiomas usuais
>> >da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
>> >deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
>> demonstra��o
>> >usa a hip�tese do cont�nuo, esta hip�tese deve ser claramente enunciada
>> >e surge naturalmente a quest�o se existe uma demonstra��o que n�o use
>> >a hip�tese do cont�nuo.
>> >
>> >Algumas nota��es usualmente aceitas para o cardinal dos reais s�o
>> >2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth � a segunda letra do alfabeto hebraico).
>> >>
>> >> Pergunta: Quantos complexos h�? Tantos quanto os reais? Mais?
>> >
>> >Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
>> >Uma id�ia ing�nua � escrever parte real e parte imagin�ria
>> >como expans�es decimais infinitas e intercalar os d�gitos
>> >para obter um �nico n�mero real que 'encodifica' os dois primeiros.
>> >O problema � que como 1.00000000... = 0.99999999...
>> >(conforme j� foi bastante discutido nesta lista ;-))
>> >�s vezes um n�mero real admite duas expans�es decimais.
>> >O problema � contorn�vel de v�rias formas.
>> >
>> >> Como demostrar
>> >> que existem infinitos "tipos" de infinito?
>> >
>> >Voc� pode mostrar que nunca existe uma bije��o entre um conjunto X e
>> >P(X) = {Y | Y � subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) � sempre
>> >maior do que o de X.
>> >
>> >> (Talvez fosse interessante algu�m
>> >> reproduzir a demonstra��o do que eu disse acima, porque eu n�o saberia
>> >> explic�-la bem. Se n�o me engano, o matem�tico que estudou isto foi
>> >> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
>> >>
>> >> N�o sei se essas id�ias podem sair da matem�tica pura (podem???),
>> >
>> >De onde mais?
>> >
>> >> mas todos temos, no m�nimo, curiosidade quando falamos do infinito.
>> >
>> >Claro.
>> >
>> >[]s, N.
>> >
>>
>>
>
>