Re: Questão interessante!!!

["dudasta" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que essa questão já apareceu na lista algumas vezes.

Considere no plano complexo todas as soluccoes de P(x)=x^n - 1=0, 
elas sao os vertices de um poligono regular de n lados.
Seja w = e^(2*pi/n), todas as soluccoes sao 1,w,w^2,w^3,..,w^(n-1). 
Podemos fatorar x^n - 1, como x^n - 1=(x-1)(x-w)...(x-w^(n-1)). E 
temos P(x)/(x-1) = 1+x+x^2+...+x^(n-1) = (x-w)(x-w^2)...(x-w^(n-1)).

A distancia entre dois complexos z e w e' o modulo da diferencca 
deles |z - w|. O produto da distancia entre x=1 e todos os vertices 
do poligono regular formado pelos complexos é |1-w||1-w^2|...|1-w^(n-
1)| = |(1-w)(1-w^2)...(1-w^n)| = |1+1+1^2+...+1^(n-1)| = n.


> ---------- Mensagem original -----------
> 
> De      : owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para    : obm-l@mat.puc-rio.br
> Cc      : 
> Data    : Fri, 17 Aug 2001 22:06:15 -0300
> Assunto : Questão interessante!!!
> 
> 
>  Amigos da lista,
> 
>       Eu gostaria de saber uma solução por GEOMETRIA 
> PLANA do problema seguinte :
>   
>  Há inscrito numa circunferência de raio unitário um 
> polígono regular com "n" vértices. Provar que o produto 
> das distâncias entre o primeiro vértice com os outros 
> demais vértices é igual a "n"
> 
>  Valeu,
> 
>    []'s Felipe
> 
>    
> 
>  
> 
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