Paradoxo de Bertrand

[Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@xxxxxxxxxx>]

Saudacoes a todos da lista,

Considerem o seguinte problema:

Qual a probabilidade de, ao escolhermos uma corda ao acaso em uma
circunferencia, o comprimento desta ser maior que o comprimento do lado do
triangulo equilatero inscrito nessa circunferencia?

Bem, parece que esse problema admite varias "solucoes"... E o mais
intrigante é que cada uma delas parece ser bem convincente e nao agridir
os conceitos de Probabilidade tal qual conhecemos. Para todas as solucoes
a seguir, considere o circulo de raio unitario e, portanto, o lado do
triangulo equilatero inscrito sqrt(3). Para os que ainda nao conhecem esta
questao, seria interessante tentar um pouquinho antes de seguir os
pontinhos e ver em qual "solucao" a sua se encaixaria.
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PRIMEIRA SOLUCAO:

Fixe um ponto P no circulo. Construa o triangulo equilatero APC inscrito
no circulo. Agora observe que tal triangulo divide o circulo em tres arcos
PA, AC e CP de mesmo comprimento. Note que PQ > sqrt(3) se, e somente se,
Q pertence ao arco AC. Como a probabilidade do ponto Q ser escolhido em
cada arco é a mesma, entao a probabilidade requerida é 1/3.

SEGUNDA SOLUCAO:

Observe que a distancia de um arco de comprimento sqrt(3) ao centro do
circulo unitario é 1/2. Evidentemente, para valores maiores que 1/2 a
corda possui comprimento menor que sqrt(3) e para valores menores a corda
possui comprimento maior que sqrt(3). Pois bem, como uma corda está
plenamente determinada por seu ponto medio, o conjunto de todos os pontos
cuja distancia ao centro do circulo é menor que 1/2 é justamente o CIRCULO
DE RAIO 1/2, concentrico ao primeiro. Logo, e como a probabilidade do
ponto medio da corda ser escolhido em qualquer ponto interior ao circulo é
a mesma, a probabilidade requerida seria 
Area_Circulo_raio_1/2 /Area_Circulo_unitario = 1/4.

TERCEIRA SOLUCAO:

Como vimos na segunda solucao, qualquer corda é determinada pelo seu ponto
medio. Se os pontos medios sao distribuidos uniformemente ao longo dos
raios, entao temos uma probabilidade de 1/2 de escolhermos os pontos
medios com distancias menores que 1/2 correspondendo, portanto, a cordas
com comprimentos maiores que sqrt(3).

Legal, nao é? Esse paradoxo é bastante conhecido e é chamado de Paradoxo
de Bertrand. O site www.cut-the-knot.com possui um detalhamento deste
problema e de uma serie de outros igualmente interessantes. Inclusive, ha
varios applets java para este problema, onde se pode calcular,
empiricamente, a probabilidade segundo a linha de raciocinio de cada
"solucao" apresentada acima. O interessante é que todos os valores de
probabilidade parecem convergir para um só valor que é... Bem, acho melhor
vcs darem uma olhadinha no site. :)

Ademais, o site também fornece uma vasta gama de problemas e resultados
interessantes em varias outra áreas, como: Geometria, Algebra, Teoria dos
Numeros, Jogos & Puzzles etc... contando um varios applets java para
visualizacao dos resultados. Realmente a must-see one!

abracos a todos,

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