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Estou
enviando soluções para a primeira e a terceira. Desculpem-me por quaisquer
eventuais erros.
Ah,
Eder, essas questões que você tem mandado são questões muito boas... De onde
você as tira??
flw,
Einstein
Terceira questão: Determine as funções f : R - {0,1}
==> R tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do
domínio de f.
Solução:
Uma
questão que usa uma idéia parecida com essa se encontra na olimpíada
Iberoamericana de 87, se eu não me engano.
Primeiramente substitua x por t,
teremos:
f(t) +
f(1/(1-t))
=t para
t diferente de 1
Agora
tome x como sendo 1/(1-t), teremos:
f(1/(1-t))+ f((t-1)/t)
=1/(1-t) para
t diferente de 0 e 1
E por último tome
x igual a (t-1)/t, teremos:
f((t-1)/t) +
f(t)
=
(t-1)/t para
t diferente de 0
somando as três
teremos:
f(t) + f(1/(1-t))
+
f(1/(1-t))+
f((t-1)/t) + f((t-1)/t) + f(t) =
(t-1)/t + 1/(1-t) +
t Daí:
2*(
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t) ) = (t-1)/t + 1/(1-t) + t
E:
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t) = (
(t-1)/t + 1/(1-t) + t )/2
substituindo na segunda teremos:
f(t)=
( (t-1)/t + t - 1/(1-t) )/2
Para
todo t real diferente de 0 e 1.
Primeira questão: Num círculo de diâmetro AB uma
corda CD é perpendicular a AB e M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB
em E e F.Provar que E e F são conjugados harmônicos em relação a
AB.
Conjugados harmônicos em relação a AB são pontos P
e Q tais que: k=PA/PB=QA/QB.
Sabendo disso, tente provar a primeira
questão
Se
quizer ver a solução continue a ler...
SOLUÇÂO:
Bom...
Como A é o ponto médio do arco CD que não contém B, implica que a bissetriz do
ângulo CMD é AM. Chame CMA=AMD=x. Daí como AB é diâmetro implica que AMB=90
graus, ou seja,BMD=90-x
Daí
como CMF é uma reta: FMB=BMD=90-x, o que implica que BM é bissetriz
do angulo FMD.
Olhando para o triângulo MEF, BM é sua bissetriz
interna e AM sua bissetriz externa. Pelos teoremas das bissetrizes interna e
externa teremos que:
AF/AE=MF/ME=BF/BE
E daí
segue o resultado.
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