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Re: ???



Valeu pelas resoluções Einstein.Realmente são questões muito boas.
Cara,essas questões são de uma apostila que recebi no colégio em que estudava ano passado.
Eu gosto de colecionar questões,mesmo as que eu não consigo resolver! 
From: Einstein
Sent: Monday, June 11, 2001 3:36 AM
Subject: RES: ???

Estou enviando soluções para a primeira e a terceira. Desculpem-me por quaisquer eventuais erros.
Ah, Eder, essas questões que você tem mandado são questões muito boas... De onde você as tira??
flw,
Einstein
                         
 
Terceira questão: Determine as funções f : R - {0,1} ==> R    tais que  f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do domínio de f.
 
Solução:
Uma questão que usa uma idéia parecida com essa se encontra na olimpíada Iberoamericana de 87, se eu não me engano.
 
Primeiramente substitua x por t, teremos:
f(t) + f(1/(1-t)) =t                                  para t diferente de 1
Agora tome x como sendo 1/(1-t), teremos:
f(1/(1-t))+ f((t-1)/t) =1/(1-t)                     para t diferente de 0 e 1
E por último tome x igual a (t-1)/t, teremos:
f((t-1)/t) + f(t)  = (t-1)/t                          para t diferente de 0
 
somando as três teremos:
f(t) + f(1/(1-t)) + f(1/(1-t))+ f((t-1)/t) + f((t-1)/t) + f(t)  = (t-1)/t + 1/(1-t) + t
Daí:
2*( f(t) + f(1/(1-t)) + f((t-1)/t) ) =  (t-1)/t + 1/(1-t) + t
E:
f(t) + f(1/(1-t)) + f((t-1)/t) = ( (t-1)/t + 1/(1-t) + t )/2
 
substituindo na segunda teremos:
 
f(t)= ( (t-1)/t + t  - 1/(1-t) )/2
Para todo t real diferente de 0 e 1.
 
 
 
Primeira questão: Num círculo de diâmetro AB uma corda CD é perpendicular a AB e M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB em E e F.Provar que E  e F são conjugados harmônicos em relação a AB.
 
Conjugados harmônicos em relação a AB são pontos P e Q tais que: k=PA/PB=QA/QB. 
Sabendo disso, tente provar a primeira questão
 
Se quizer ver a solução continue a ler... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÂO:
Bom... Como A é o ponto médio do arco CD que não contém B, implica que a bissetriz do ângulo CMD é AM. Chame CMA=AMD=x. Daí como AB é diâmetro implica que AMB=90 graus, ou seja,BMD=90-x
Daí como CMF é uma reta: FMB=BMD=90-x, o que implica que BM é bissetriz do angulo FMD.
 
Olhando para o triângulo MEF, BM é sua bissetriz interna e AM sua bissetriz externa. Pelos teoremas das bissetrizes interna e externa teremos que:
 
AF/AE=MF/ME=BF/BE
 
E daí segue o resultado. 
 
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Eder
Enviada em: domingo, 10 de junho de 2001 19:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: ???

Alguém poderia me ajudar com as seguintes questões?
 
" 1)Num círculo de diâmetro AB uma corda CD é perpendicular a AB e M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB em E e F.Provar que E  e F são conjugados harmônicos em relação a AB."
 
Eu nem ao menos sei o que significa  conjugado harmônico...
 
"2) Mostre que a função f : R+ ==>R dada por f(x)=cos(sqrtx) não é periódica. "
 
"3) Determine as funções f : R - {0,1} ==> R    tais que  f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do domínio de f."
 
Qual é o raciocínio?Por onde começo esse tipo de questão?
 
Desde já agradeço qualquer ajuda.
 
T+