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Acrescentando ao que ja foi dito, os inteiros sao
um lugar mais "natural" (epa!) para trabalhar com divisibilidade, principalmente
pelo fato de que em Z todo elemento tem simetrico aditivo.
Por exemplo, o importantissimo e aplicadissimo
Teorema de Bezout (o m.d.c. de dois numeros pode ser escrito como combinacao
linear deles) eh verdadeiro nos inteiros (e tambem nos inteiros de Gauss, e
tambem nos polinomios com coeficientes em um corpo, etc.), e nao eh verdadeiro
nos naturais.
Outro exemplo, para resolver uma equacao diofantina
linear em varias variaveis, mesmo que so se queiram resultados naturais,
eh mais facil resolver nos inteiros e depois pegar as solucoes
naturais.
Acontece que, como algum colega ja disse, essas
questoes de divisibilidade comecam a ser aprendidas muito cedo na escola, quando
o aluno estah trabalhando so com naturais. Por isto, muitos ficam com a ideia de
que divisibilidade eh algo inerente aoos naturais.
Tenho constatado, ao longo de minha longa vida de
professor, que o fato de o aluno (nao por cupla dele, eh logico) trabalhar em um
terreno onde os instrumentos sao capengas, gera varios problemas para ele. Um
deles eh ter dificuldade em perceber mais tarde a profunda analogia entre as
teorias de divisibilidade nos inteiros e nos polinomios. Outro eh enfatizar o
m.d.c. sempre como o "maior" divisor comum, e nao (como eh muito mais importante
do ponto de vista da divisibilidade) como aquele que eh multiplo de todos os
outros (e, portanto, o maior, no caso dos naturais). Isto conduz a comer mosca
em muitos problemas de Aritmetica ("Teoria dos Numeros").
JP
----- Original Message -----
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