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Inicialmente note que x^10 - 1 = (x - 1)x^9 +
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, ou seja, todas as 9 raízes x
de x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
satisfazem x^10 = 1. Portanto, para cada x que é raiz de x^9 + x^8 + x^7 +
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1:
x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 = (x^9)(x^10)^99 + (x^8)(x^10)^88
+ ... + (x^10)(x^10)^11 + 1 = x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x
+ 1 = 0
, ou seja, cada uma das 9 raízes x de x^9 +
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 satisfazem x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 = 0, implicando
que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisível por
x^9+x^8+x^7+...+x^1+1.
Falou,
Marcelo Rufino
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