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Complexos



Sauda,c~oes,
 
São mesmo muito úteis. Considere o problema:
 
Mostre que S_n = binom{n}{0} + binom{n}{3} + binom{n}{6} + ... = sum_{j >= 0} binom{n}{3j} = 
\frac{1}{3} 2^n + 2cos\frac{n pi}{3} ) , onde \frac{x}{y} = x/y; binom{x}{y} = x )
                                                                                       ( y )
Aqui o w do w^3=1 aparece novamente.
 
 
Ou as generalizações S_n(m) = sum_{j >= 0} binom{n}{mj} para m > 0 e 
 
S_n(k,m) = sum_{j >= 0} binom{n}{k + mj} para 0 <= k < m.
 
E bota w = cis 2pi/m (raiz m-ésima da unidade) nisso!!!
 
[ ]'s
Lu'is 
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 11:36
Assunto: Re: Primos

Certamente essa parte :"logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1", foi pra economizar tempo... não é óbvio, necessita desse passo intermediário sim !
Isso é pra mostrar que os complexos são muito úteis, ao contrário do que muitos pensam ( inclusive eu pensAVA assim... ).
Abraços,
 ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 22:34
Assunto: Re: Primos

Caro Rodrigo.
Onde voce diz: "seja w raiz cubica da unidade", eh claro que voce estah subentendo "diferente de 1", se nao w^2+w+1 nao poderia dar zero. Ou seja, este w so pode ser complexo nao real, mais precisamente cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu conjugado
cis(-2pi/3) = -1/2 - i RQ(3)/2.
Para mim, nao eh muito claro o seu "logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1". Eu preferiria acrescentar o passo intermediario: Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh divisivel por (z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1.
De qualquer forma, o interessante do seu metodo eh como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O velho Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham vergonha de admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele resolveu o celebre problema: "que inteiros sao somas de dois quadrados?". E ahi nascia o anel dos inteiros de Gauss, o primeiro exemplo "natural" (alem dos inteiros usuais e dos polinomios com coeficientes em um corpo) de um anel onde vale um algoritmo de Euclides.
Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos complexos (inventores de palavras como "imaginarios")!
JP