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Re: Primos



Certamente essa parte :"logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1", foi pra economizar tempo... não é óbvio, necessita desse passo intermediário sim !
Isso é pra mostrar que os complexos são muito úteis, ao contrário do que muitos pensam ( inclusive eu pensAVA assim... ).
Abraços,
 ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 22:34
Assunto: Re: Primos

Caro Rodrigo.
Onde voce diz: "seja w raiz cubica da unidade", eh claro que voce estah subentendo "diferente de 1", se nao w^2+w+1 nao poderia dar zero. Ou seja, este w so pode ser complexo nao real, mais precisamente cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu conjugado
cis(-2pi/3) = -1/2 - i RQ(3)/2.
Para mim, nao eh muito claro o seu "logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1". Eu preferiria acrescentar o passo intermediario: Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh divisivel por (z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1.
De qualquer forma, o interessante do seu metodo eh como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O velho Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham vergonha de admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele resolveu o celebre problema: "que inteiros sao somas de dois quadrados?". E ahi nascia o anel dos inteiros de Gauss, o primeiro exemplo "natural" (alem dos inteiros usuais e dos polinomios com coeficientes em um corpo) de um anel onde vale um algoritmo de Euclides.
Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos complexos (inventores de palavras como "imaginarios")!
JP
 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, April 17, 2001 7:15 PM
Subject: Re: Primos

Note que n^5 + n^4 + 1 não é irredutível. Existe um artifício bem interessante o qual o Márcio Cohen ( da lista ) me disse outro dia...
Seja P(n) = n^5 + n^4 + 1 . Seja w raiz cúbica da unidade. Logo w^3 = 1 ou seja, para w diferente de 1, temos w^2 + w + 1 = 0. Vamos calcular P(w) :
P(w) = w^5 + w^4 + 1 = w^2 + w + 1 = 0. Logo, w^2 + w + 1 é fator de w^5 + w^4 + 1 . Fazendo a divisão de w^5 + w^4 + 1 por w^2 + w + 1 , achamos exatamente w^3 - w + 1. Logo, P(w) = (w^2 + w + 1)*(w^3 - w + 1), ou seja, temos que P(n) = (n^2 + n + 1)*(n^3 - n + 1), É fácil verificar que os dois fatores são maiores que 1, para n>1, logo P(n) é composto.
Abraços, 
  ¡ Villard ! 
-----Mensagem original-----
De: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 01:29
Assunto: Primos

Olá amigos,
Aqui vai problema:
1)Mostre que n^5+n^4+1 não é primo para n>1.
2)Qual são os primos da forma n^n+1 menores que 10^19?
Um abraço
Fábio Arruda