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Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
Rogerio Fajardo wrote:
> Por dois pontos passa uma única reta não decorre do axioma das paralelas? Ou
> é um axioma?
Não decorre dos axiomas das paralelas. Pois, se tal axioma diz que "por um
ponto fora da reta, passa uma e somente uma reta paralela à primeira", como
vamos entendê-lo, se não soubermos o que é "reta"?
Mas agora, pensando bem, eu posso ter confundido as coisas (escrever com
pressa não dá certo :-)). Até onde eu me lembre, pontos, retas, planos e algumas
outras coisas são "entes primitivos", istoé, não são definidos, presume-se que
todos concordem sobre o que são.
>
> Aliás, quais são os axiomas de Euclides?
De qualquer forma, para um estudo cuidadoso, com cada axioma, cada teorema, etc,
recomendo o livro que usei em Geometria I. Chama-se "Geometria Euclidiana Plana"
do João Lucas Marques Barbosa. Encontra-se à venda pela SBM, em vários lugares,
inclusive no IMPA.
A pro
>
> >From: "josimat" <josimat@openlink.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
> >Date: Mon, 9 Apr 2001 23:52:26 -0300
> >
> >Essa tal demonstracao errada nao seria de Lagrange, em vez de Legendre?
> >[]s, Josimar
Não sei se Lagrange também errou ou se sequer tentou, mas estou fazendo uma
cadeira aqui na UFRJ na qual estamos estudando os livros do Legendre, e foi nele
que estava o erro.
[]'s
Alexandre Tessarollo
>
> > -----Mensagem original-----
> > De: Alek <ksander@ig.com.br>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Data: Terça-feira, 10 de Abril de 2001 22:12
> > Assunto: Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
> >
> >
> > Desculpe, mas faz pouco tempo a professora de algebra linear provou
> >que por dois pontos distintos passa somente uma unica reta(na euclidiana).
> > Portanto ou essa definiçao de axioma esta errada, ou isso de
> >2pontos1reta nao é axioma.
> > ¿¿¿Alguem pode resolver este misterio???
> >
> >
> >
> > At 17:39 09/04/01 -0300, you wrote:
> >
> >
> > Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar
> >a geometria e,
> > para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada
> >teorema.
> > (Axioma é algo que não pode ser provado e que o bom senso diz ser
> >verdadeiro. Um
> > exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa
> >uma e somente
> > uma reta")
> >
> > Várias geometrias foram construídas ao longo dos tempos,
> >excluindo um ou
> > outro axioma. Em geral, devido a sua não-obviedade, o primeiro
> >axioma a ser
> > excluído era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P não
> >pertencente a
> > r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P).
> >Assim surgiram as
> > geometrias não-euclidianas, com várias aplicações teóricas e
> >algumas práticas.
> > Resumidamente, são classificadas de acordo com a soma dos ângulos
> >internos de um
> > triângulo: maior que 180 ou menor que 180.
> >
> > A geometria esférica (ou da esfera de Rienman) é aquela onde
> >as retas são os
> > círculos máximos, isto é, de centro no centro da esfera e raio até
> >um ponto
> > desta. Com tais retas, pode-se construir um triângulo com três
> >(!!) ângulos
> > retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o
> >equador. Se
> > necessário, pegue um globo terrestre. É fácil ver que o V
> >postulado (o axioma
> > das paralelas escrito por Euclides) não vale nessa geometria.
> >
> > A geometria do Plano de Poincaré (é essa a geometria
> >elíptica?) toma a
> > região do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e
> >arcos de
> > circunferências centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode
> >parecer estranho
> > à primeira vista (e realmente é), mas, assim, vc pode construir um
> >triângulo com
> > menos de 180.
> >
> > Já a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por
> >exemplo por
> > Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para
> >construir a mesma
> > geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado,
> >ele cometeu um
> > erro de raciocínio que passou indetectado por anos. Isto é, todos
> >sabiam que
> > haviam um erro na argumentação dele, mas não conseguiam achá-lo.
> >Quem tiver
> > acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele.
> >
> > Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero
> >também que
> > alguém me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-)
> >
> > []'s
> >
> > Alexandre Tessarollo
> >
> > PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas
> >noções (e não o
> > estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de
> >geometrias
> > não-euclidianas MESMO, só em Geometria II, que é eletiva. A
> >propósito, bem
> > vindo, calouro. Abraços do seu veterano.. hehe
> >
> > Rodrigo Villard Milet wrote:
> >
> > > Sim ! Se você tiver soma dos ângulos internos igual a 180, com
> >certeza está
> > > presente o axioma das paralelas !
> > > ¡ Villard !
> > > -----Mensagem original-----
> > > De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40
> > > Assunto: Re: triângulo com mais de 180o?
> > >
> > > >
> > > >Isso significa que poderíamos substituir o axioma das paralelas
> >pelo
> > > >axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é 180°"?
> >Isto é,
> > > >a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180°
> >implica o axioma
> > > >das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos a
> >soma dos
> > > >ângulos é 180°?
> > > >
> > > >>From: "Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
> > > >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
> > > >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300
> > > >>
> > > >> Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma
> >dos ângulos
> > > >>do
> > > >>triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
> > > >> Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os
> >mestres da
> > > >>lista
> > > >>comentarem mais o assunto!
> > > >>
> > > >>----- Original Message -----
> > > >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> > > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM
> > > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
> > > >>
> > > >>
> > > >> > A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus
> >na geometria
> > > >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a
> >soma dos
> > > ângulos
> > > >> > internos de um triângulo é 180, você só pode estar
> >trabalhando com a
> > > >> > geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a
> >soma dos
> > > ângulos
> > > >> > internos do triângulo é > 180 graus. Mas esse triângulo não
> >é definido
> > > >>na
> > > >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma
> >dos angulos
> > > é
> > > >>180
> > > >> > decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo
> >euclidiana.
> > > >> > Certamente, se você considerar uma geometria na superfície
> >de uma
> > > >>esfera,
> > > >> > onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será um
> >triângulo
> > > >>sim.
> > > >> > Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas,
> >não podemos
> > > >> > afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é > 180).
> > > >> > Abraços,
> > > >> > ¡Villard!
> > > >> > -----Mensagem original-----
> > > >> > De: vinicius <rachador@mailbr.com.br>
> > > >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
> > > >> > Assunto: triângulo com mais de 180o?
> > > >> >
> > > >> >
> > > >> > >considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas linhas
> >de seu
> > > >>extremo
> > > >> > >superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P -
> >até dois
> > > >>pontos
> > > >> > >distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B.
> >PAB pode ser
> > > >> > >considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa,
> >este triângulo
> > > >> > >possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o. isto
> >está de
> > > >>acordo
> > > >> > >com a definição de triângulo?
> > > >> > >
> > > >> > >
> > > >> >
> > > >> >
> > > >>
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